2019년04월27일 76번

[회로이론 및 제어공학]
전류 I=30sinωt+40sin(3ωt+45°) (A)의 실효값(A)은?

① 25
② 25√2
③ 50
④ 50√2

(정답률: 56%)

문제 해설

전류 I는 두 개의 사인 함수의 합으로 이루어져 있으므로, 이를 효과적으로 계산하기 위해서는 각각의 사인 함수의 제곱의 평균값을 구해야 한다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

I^2 = (30sinωt)^2 + (40sin(3ωt+45°))^2

여기서, sin(3ωt+45°)은 sin(3ωt)과 cos(45°)의 합으로 나타낼 수 있으므로 다음과 같이 변형할 수 있다.

I^2 = (30sinωt)^2 + (40sin3ωt*cos45°)^2 + (40cos3ωt*sin45°)^2

I^2 = (30sinωt)^2 + (20sin3ωt)^2 + (20cos3ωt)^2

I^2 = 900sin^2ωt + 400sin^23ωt + 400cos^23ωt

여기서, sin^2x + cos^2x = 1 이므로 다음과 같이 변형할 수 있다.

I^2 = 900sin^2ωt + 400(sin^23ωt + cos^23ωt)

I^2 = 900sin^2ωt + 400

이제 이를 시간에 대한 평균값으로 변환해야 한다. 시간에 대한 평균값은 주기 T를 이용하여 다음과 같이 구할 수 있다.

I_rms = sqrt((1/T)∫_0^T I^2 dt)

여기서, T는 주기이고, ∫_0^T는 0부터 T까지의 적분을 의미한다. 이를 전류 I에 대입하면 다음과 같다.

I_rms = sqrt((1/T)∫_0^T (900sin^2ωt + 400) dt)

I_rms = sqrt(900/T ∫_0^T sin^2ωt dt + 400/T ∫_0^T dt)

여기서, ∫_0^T sin^2ωt dt는 T/2이므로 다음과 같이 계산할 수 있다.

I_rms = sqrt(450 + 400/T)

이제 T를 구해야 한다. sin함수의 주기는 2π/ω이므로, 3ωt의 주기는 2π/(3ω)이다. 따라서, 두 사인 함수의 주기의 최소공배수인 2π/ω와 2π/(3ω)의 최소공배수를 구하면 전체 주기 T를 구할 수 있다.

2π/ω = 6π/(3ω)

T = 6π/ω

이를 I_rms에 대입하면 다음과 같다.

I_rms = sqrt(450 + 400/(6π/ω))

I_rms = sqrt(450 + 200/π)

I_rms = sqrt(450 + 63.66)

I_rms = sqrt(513.66)

I_rms = 25√2

따라서, 정답은 "25√2"이다.

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