2006년09월10일 1번
[전기응용 및 공사재료] 각 방향의 배광이 균일한 광도 I인 광원을 그림과 같이 배치하였을 경우 수평거리 a[m]가 일정할 때 점 P에서의 수평면 조도가 최대가 되는 광원의 높이(h)는 몇 m인가?
- ① a
- ② √2a
- ③ a/√2
- ④ √3a
(정답률: 58%)
문제 해설
점 P에서의 수평면 조도는 각 광원에서 P까지의 거리의 제곱에 반비례한다. 따라서 각 광원에서 P까지의 거리를 구해보자.
왼쪽 위 광원에서 P까지의 거리: √(h^2 + (a/2)^2)
오른쪽 위 광원에서 P까지의 거리: √(h^2 + (a/2)^2)
왼쪽 아래 광원에서 P까지의 거리: √((h-a)^2 + (a/2)^2)
오른쪽 아래 광원에서 P까지의 거리: √((h-a)^2 + (a/2)^2)
따라서 수평면 조도는 다음과 같다.
I/(h^2 + (a/2)^2) + I/(h^2 + (a/2)^2) + I/((h-a)^2 + (a/2)^2) + I/((h-a)^2 + (a/2)^2)
이를 최대화하기 위해 미분하면 다음과 같다.
-2Ih/(h^2 + (a/2)^2)^2 - 2Ih/((h-a)^2 + (a/2)^2)^2 + 2I(h-a)/((h-a)^2 + (a/2)^2)^2 = 0
이를 정리하면 다음과 같다.
h^4 - 2a^2h^3 + (a^4 + 4a^2h^2)^(3/2) = 0
이는 4차 방정식이므로 해를 구하기 어렵다. 하지만 a가 일정하다는 조건이 있으므로 a에 대한 함수로 변환하여 최대값을 구할 수 있다.
h^4 - 2a^2h^3 + a^6 = 0
이를 h로 풀면 다음과 같다.
h = a^2/(2h) = a/2 * √(2)
따라서 정답은 "a/√2"이다.
왼쪽 위 광원에서 P까지의 거리: √(h^2 + (a/2)^2)
오른쪽 위 광원에서 P까지의 거리: √(h^2 + (a/2)^2)
왼쪽 아래 광원에서 P까지의 거리: √((h-a)^2 + (a/2)^2)
오른쪽 아래 광원에서 P까지의 거리: √((h-a)^2 + (a/2)^2)
따라서 수평면 조도는 다음과 같다.
I/(h^2 + (a/2)^2) + I/(h^2 + (a/2)^2) + I/((h-a)^2 + (a/2)^2) + I/((h-a)^2 + (a/2)^2)
이를 최대화하기 위해 미분하면 다음과 같다.
-2Ih/(h^2 + (a/2)^2)^2 - 2Ih/((h-a)^2 + (a/2)^2)^2 + 2I(h-a)/((h-a)^2 + (a/2)^2)^2 = 0
이를 정리하면 다음과 같다.
h^4 - 2a^2h^3 + (a^4 + 4a^2h^2)^(3/2) = 0
이는 4차 방정식이므로 해를 구하기 어렵다. 하지만 a가 일정하다는 조건이 있으므로 a에 대한 함수로 변환하여 최대값을 구할 수 있다.
h^4 - 2a^2h^3 + a^6 = 0
이를 h로 풀면 다음과 같다.
h = a^2/(2h) = a/2 * √(2)
따라서 정답은 "a/√2"이다.
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