2007년04월01일 58번
[가스일반] 이상기체의 정압비열(Cp)과 정적비열(Cv)에 대한 설명 중 틀린 것은? (단, K는 비열비이고, R은 이상기체 상수이다.)
- ① 정적비열과 R의 합은 정압비열이다.
- ② 비열비(K)는 Cp/Cv로 표현된다.
- ③ 정적비열은 R/(K-1)로 표현된다.
- ④ 정압비열은 (K-1)/K로 표현된다.
(정답률: 50%)
문제 해설
정답은 "정압비열은 (K-1)/K로 표현된다." 이다.
이유는 이상기체의 상태방정식인 PV=nRT를 이용하여 유도할 수 있다.
먼저, 정압과정에서 열이 전달되는 경우, 열용량은 정압비열(Cp)이다. 따라서, 열량 변화량 dQ와 온도 변화량 dT는 다음과 같은 관계를 가진다.
dQ = Cp * n * dT
여기서, n은 몰 수량이다.
또한, 이상기체의 비열비(K)는 다음과 같이 정의된다.
K = Cp / Cv
따라서, Cv는 다음과 같이 표현할 수 있다.
Cv = Cp / K
이제, 정압비열과 정적비열의 관계를 유도해보자.
PV=nRT 식에서, P, V, T는 각각 압력, 부피, 온도를 나타낸다. 이를 미분하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
PdV + VdP = nRdT
여기서, 정압과정에서는 압력이 일정하므로 dP=0이 된다. 따라서, 위 식은 다음과 같이 간소화된다.
dQ = dU + PdV = Cv * n * dT + PdV
여기서, dU는 내부에너지 변화량을 나타내며, PdV는 일을 나타낸다.
이제, 이 식을 PV=nRT 식에 대입하여 정리하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
Cp - Cv = R
따라서, 정압비열과 정적비열의 관계는 다음과 같다.
Cp = Cv + R
Cp / Cv = K
따라서, Cp = K * Cv
Cp - Cv = R
위 식에서 Cp를 K * Cv로 대체하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
K * Cv - Cv = R
(K-1) * Cv = R
Cv = R / (K-1)
따라서, 정적비열은 R / (K-1)로 표현된다.
마지막으로, 정압비열은 다음과 같이 유도할 수 있다.
Cp - Cv = R
Cp = Cv + R
Cp / Cv = K
Cp = K * Cv
Cp - Cv = (K-1) * Cv
Cp = (K-1) * Cv + Cv
Cp = (K-1) * Cv + R / (K-1)
Cp = [(K-1) * Cv * (K-1)] / [(K-1)] + R / (K-1)
Cp = (K-1) / K * R + R / (K-1)
Cp = R * [(K-1) / K + 1 / (K-1)]
Cp = R * [(K-1) + K] / [K * (K-1)]
Cp = R * K / [K * (K-1)]
Cp = R / (K-1)
따라서, 정압비열은 (K-1) / K로 표현된다.
이유는 이상기체의 상태방정식인 PV=nRT를 이용하여 유도할 수 있다.
먼저, 정압과정에서 열이 전달되는 경우, 열용량은 정압비열(Cp)이다. 따라서, 열량 변화량 dQ와 온도 변화량 dT는 다음과 같은 관계를 가진다.
dQ = Cp * n * dT
여기서, n은 몰 수량이다.
또한, 이상기체의 비열비(K)는 다음과 같이 정의된다.
K = Cp / Cv
따라서, Cv는 다음과 같이 표현할 수 있다.
Cv = Cp / K
이제, 정압비열과 정적비열의 관계를 유도해보자.
PV=nRT 식에서, P, V, T는 각각 압력, 부피, 온도를 나타낸다. 이를 미분하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
PdV + VdP = nRdT
여기서, 정압과정에서는 압력이 일정하므로 dP=0이 된다. 따라서, 위 식은 다음과 같이 간소화된다.
dQ = dU + PdV = Cv * n * dT + PdV
여기서, dU는 내부에너지 변화량을 나타내며, PdV는 일을 나타낸다.
이제, 이 식을 PV=nRT 식에 대입하여 정리하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
Cp - Cv = R
따라서, 정압비열과 정적비열의 관계는 다음과 같다.
Cp = Cv + R
Cp / Cv = K
따라서, Cp = K * Cv
Cp - Cv = R
위 식에서 Cp를 K * Cv로 대체하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
K * Cv - Cv = R
(K-1) * Cv = R
Cv = R / (K-1)
따라서, 정적비열은 R / (K-1)로 표현된다.
마지막으로, 정압비열은 다음과 같이 유도할 수 있다.
Cp - Cv = R
Cp = Cv + R
Cp / Cv = K
Cp = K * Cv
Cp - Cv = (K-1) * Cv
Cp = (K-1) * Cv + Cv
Cp = (K-1) * Cv + R / (K-1)
Cp = [(K-1) * Cv * (K-1)] / [(K-1)] + R / (K-1)
Cp = (K-1) / K * R + R / (K-1)
Cp = R * [(K-1) / K + 1 / (K-1)]
Cp = R * [(K-1) + K] / [K * (K-1)]
Cp = R * K / [K * (K-1)]
Cp = R / (K-1)
따라서, 정압비열은 (K-1) / K로 표현된다.
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