2009년10월15일 6번
[과목 구분 없음] 그림은 경사각이 θ인 빗면에 고정된 용수철에 매달린 물체가 진폭 A로 단진동하는 것을 나타낸 것이다. 용수철이 늘어나지 않았을 때 용수철의 길이는 L이다.
이 물체의 진동 주기는? (단, 중력가속도는 g이고, 용수철의 질량은 무시한다.) [3점]
이 물체의 진동 주기는? (단, 중력가속도는 g이고, 용수철의 질량은 무시한다.) [3점]
-
①
-
②
-
③
-
④
-
⑤
(정답률: 알수없음)
문제 해설
이 물체는 용수철에 매달려 있으므로 용수철의 탄성력과 중력이 작용한다. 이 때, 용수철의 늘어난 길이를 ΔL이라고 하면, 용수철의 탄성력 F는 F = kΔL이다. 여기서 k는 용수철의 탄성계수이다. 중력과 용수철의 탄성력이 작용하므로, 이 물체의 운동방정식은 다음과 같다.
ma = -mg sinθ - kΔL
여기서 a는 물체의 가속도이다. 이 운동방정식을 간단히 정리하면,
a + (k/m)ΔL = -g sinθ
이 된다. 이 식에서 ΔL은 물체의 운동에 따라 변하는 값이므로, 이를 제거하기 위해 ΔL을 a와 t의 함수로 나타내야 한다. 이를 위해, ΔL = A sin(ωt)로 가정하자. 이 때, A는 물체의 진폭이고, ω는 각진동수이다. 이 식을 운동방정식에 대입하면,
a + (k/m)A sin(ωt) = -g sinθ
이 된다. 이 식에서 좌변의 첫 번째 항은 물체의 가속도이고, 두 번째 항은 용수철의 탄성력이다. 이 식에서 우변의 항은 중력이다. 이 식을 풀면,
a = -g sinθ - (k/m)A sin(ωt)
이 된다. 이 식에서 좌변의 항은 물체의 가속도이고, 우변의 첫 번째 항은 중력이고, 두 번째 항은 용수철의 탄성력이다. 이 식에서 물체의 가속도는 시간의 함수이므로, 이를 적분하여 물체의 속도와 위치를 구할 수 있다. 이 때, 물체의 진동 주기는 한 번의 완전한 운동을 마치는 데 걸리는 시간이므로, 이를 구하기 위해서는 물체의 운동방정식을 해결해야 한다.
물체의 운동방정식에서, 좌변의 항은 물체의 가속도이고, 우변의 첫 번째 항은 중력이고, 두 번째 항은 용수철의 탄성력이다. 이 때, 물체의 운동은 단진동이므로, 물체의 가속도와 속도는 sin 함수로 나타낼 수 있다. 따라서, 물체의 운동방정식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
a = -ω^2A sin(ωt)
여기서 ω는 각진동수이다. 이 식에서 좌변의 항은 물체의 가속도이고, 우변의 항은 용수철의 탄성력이다. 이 식을 풀면,
ω = √(k/m)
이 된다. 이 식에서 ω는 각진동수이고, k는 용수철의 탄성계수이고, m은 물체의 질량이다. 따라서, 물체의 진동 주기는 다음과 같다.
T = 2π/ω = 2π√(m/k)
따라서, 정답은 ""이다.
ma = -mg sinθ - kΔL
여기서 a는 물체의 가속도이다. 이 운동방정식을 간단히 정리하면,
a + (k/m)ΔL = -g sinθ
이 된다. 이 식에서 ΔL은 물체의 운동에 따라 변하는 값이므로, 이를 제거하기 위해 ΔL을 a와 t의 함수로 나타내야 한다. 이를 위해, ΔL = A sin(ωt)로 가정하자. 이 때, A는 물체의 진폭이고, ω는 각진동수이다. 이 식을 운동방정식에 대입하면,
a + (k/m)A sin(ωt) = -g sinθ
이 된다. 이 식에서 좌변의 첫 번째 항은 물체의 가속도이고, 두 번째 항은 용수철의 탄성력이다. 이 식에서 우변의 항은 중력이다. 이 식을 풀면,
a = -g sinθ - (k/m)A sin(ωt)
이 된다. 이 식에서 좌변의 항은 물체의 가속도이고, 우변의 첫 번째 항은 중력이고, 두 번째 항은 용수철의 탄성력이다. 이 식에서 물체의 가속도는 시간의 함수이므로, 이를 적분하여 물체의 속도와 위치를 구할 수 있다. 이 때, 물체의 진동 주기는 한 번의 완전한 운동을 마치는 데 걸리는 시간이므로, 이를 구하기 위해서는 물체의 운동방정식을 해결해야 한다.
물체의 운동방정식에서, 좌변의 항은 물체의 가속도이고, 우변의 첫 번째 항은 중력이고, 두 번째 항은 용수철의 탄성력이다. 이 때, 물체의 운동은 단진동이므로, 물체의 가속도와 속도는 sin 함수로 나타낼 수 있다. 따라서, 물체의 운동방정식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
a = -ω^2A sin(ωt)
여기서 ω는 각진동수이다. 이 식에서 좌변의 항은 물체의 가속도이고, 우변의 항은 용수철의 탄성력이다. 이 식을 풀면,
ω = √(k/m)
이 된다. 이 식에서 ω는 각진동수이고, k는 용수철의 탄성계수이고, m은 물체의 질량이다. 따라서, 물체의 진동 주기는 다음과 같다.
T = 2π/ω = 2π√(m/k)
따라서, 정답은 "
"이다.연도별
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