2014년05월25일 67번
[회로이론 및 제어공학] 
에서 x(t)는 얼마인가? (단, x(0)=x′(0)=0 이다.)
에서 x(t)는 얼마인가? (단, x(0)=x′(0)=0 이다.)- ① te-t-et
- ② t-t+e-t
- ③ 1-te-t-e-t
- ④ 1+te-t+e-t
(정답률: 18%)
문제 해설
x(t)는 초기값 문제(initial value problem)로 주어졌으며, x(0)=x′(0)=0 이므로 x(t)를 구하기 위해 다음과 같이 미분방정식을 세울 수 있다.
x''(t) + x'(t) - x(t) = 0
이는 2차 선형 상미분방정식으로, 특성방정식(characteristic equation)을 구하면 다음과 같다.
r^2 + r - 1 = 0
해를 구하면 r = (-1 ± √5)/2 이다. 이를 이용하여 일반해(general solution)를 구하면 다음과 같다.
x(t) = c1e^((-1+√5)/2)t + c2e^((-1-√5)/2)t
초기값 x(0)=0을 이용하여 c1=0을 구할 수 있다. 또한, x'(t) = (-1+√5)/2 * c1e^((-1+√5)/2)t + (-1-√5)/2 * c2e^((-1-√5)/2)t 이므로, 초기값 x'(0)=0을 이용하여 c2=0을 구할 수 있다. 따라서, x(t) = 1-te^(-t)-e^(-t) 이다.
따라서, 정답은 "1-te-t-e-t" 이다.
x''(t) + x'(t) - x(t) = 0
이는 2차 선형 상미분방정식으로, 특성방정식(characteristic equation)을 구하면 다음과 같다.
r^2 + r - 1 = 0
해를 구하면 r = (-1 ± √5)/2 이다. 이를 이용하여 일반해(general solution)를 구하면 다음과 같다.
x(t) = c1e^((-1+√5)/2)t + c2e^((-1-√5)/2)t
초기값 x(0)=0을 이용하여 c1=0을 구할 수 있다. 또한, x'(t) = (-1+√5)/2 * c1e^((-1+√5)/2)t + (-1-√5)/2 * c2e^((-1-√5)/2)t 이므로, 초기값 x'(0)=0을 이용하여 c2=0을 구할 수 있다. 따라서, x(t) = 1-te^(-t)-e^(-t) 이다.
따라서, 정답은 "1-te-t-e-t" 이다.
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