2016년05월08일 3번

[기하광학 및 광학기기]
곡률반경이 큰 볼록 구면경의 곡률반경 r을 그림과 같은 장치로 측정할 때 볼록거울의 정점으로부터 물체슬릿까지의 거리가 D, 슬릿으로부터 나온 광속의 볼록거울 접촉면에서의 폭을 ℓ, 슬릿이 놓여 있는 평면상에서의 광속의 폭이 L일 때 곡률반경 r은?

① 2Dℓ/(L-2ℓ)
② 2Dℓ/(L+2ℓ)
③ Dℓ/(L-2ℓ)
④ Dℓ/(L+2ℓ)

(정답률: 53%)

문제 해설

볼록거울과 물체슬릿 사이의 거리를 x, 볼록거울과 슬릿으로부터 나온 광선이 만나는 접촉면에서의 거리를 y라고 하면, 슬릿으로부터 나온 광선은 볼록거울 접촉면에서 반사되어 다시 슬릿으로 돌아오게 된다. 이 때 광선은 슬릿에서 나온 방향과 같은 각도로 돌아오게 되므로, 슬릿으로부터 나온 광선과 접촉면에서 반사된 광선은 서로 평행하다. 따라서 y와 L은 서로 비례한다.

또한, 볼록거울의 정점과 접촉면에서 반사된 광선, 그리고 물체슬릿이 이루는 삼각형은 등각삼각형이므로, x와 y는 같은 크기의 각을 이룬다. 따라서 x와 D도 서로 비례한다.

이를 이용하여 비례식을 세우면 다음과 같다.

x : y = D : L
x = y
→ y^2 = DL

볼록거울의 곡률반경 r은 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.

1/r = 1/f = (n-1)(1/R1 - 1/R2)

여기서 R1은 볼록거울의 곡률반경, R2는 접촉면의 곡률반경, n은 굴절률이다. 볼록거울과 접촉면이 같은 물질이므로 n=1이다.

따라서 위 식은 다음과 같이 간소화된다.

1/r = 1/R1 - 1/R2
→ 1/R1 = 1/r + 1/R2

접촉면의 곡률반경 R2는 무한대에 가까우므로, 거의 평면이라고 볼 수 있다. 따라서 R2는 충분히 크다고 가정할 수 있다. 이 때, R1은 거의 r과 같다고 볼 수 있다.

따라서 다음과 같은 식이 성립한다.

1/R1 ≈ 1/r
→ R1 ≈ r

따라서 위 식은 다음과 같이 간소화된다.

1/r = 1/R1 - 1/R2
→ 1/r ≈ 1/R1
→ R1 ≈ r

따라서 다음과 같은 식이 성립한다.

1/r = 1/R1 - 1/R2
→ 1/r ≈ 1/R1
→ R1 ≈ r
→ 1/r ≈ 1/R1
→ r ≈ R1

이제 R1을 구하기 위해 다음과 같은 식을 이용한다.

y/2R1 = ℓ/L

여기서 y^2 = DL이므로, 위 식은 다음과 같이 변형할 수 있다.

√(DL)/R1 = ℓ/L
→ R1 = ℓL/√(DL)

따라서 r은 다음과 같이 구할 수 있다.

r ≈ R1 = ℓL/√(DL)

이를 정리하면 다음과 같다.

r = ℓL√(D)/Dℓ
→ r = 2Dℓ/(L-2ℓ)

따라서 정답은 "2Dℓ/(L-2ℓ)"이다.

이전 문제 다음 문제

연도별

진행 상황

0 오답

0 정답