2014년08월17일 51번

[전기자기학]
체적 전하밀도 ρ(C/m³)로 V(m³)의 체적에 걸쳐서 분포되어 있는 전하분포에 의한 전위를 구하는 식은? (단, r은 중심으로부터의 거리이다.)

(정답률: 알수없음)

문제 해설

정답은 "

" 이다.

전하분포에 의한 전위는 다음과 같이 구할 수 있다.

ΔV = ∫(kρ/|r-r'|)dτ'

여기서 k는 쿨롱 상수이고, r은 중심으로부터의 거리이다. 분포가 구형대칭이므로, 적분을 구하기 위해 구의 좌표계를 사용한다. 이를 위해, 적분을 구할 구의 중심을 원점으로 두고, r 방향으로 향하는 단위벡터를 r'로 둔다.

적분을 구하기 위해, 구의 체적을 구한다.

V = (4/3)πr^3

적분을 구하기 위해, 구의 체적을 구한다.

ΔV = ∫(kρ/|r-r'|)dτ'

= kρ∫(1/|r-r'|)dτ'

= kρ∫∫∫(1/|r-r'|)r'^2sinθdθdφdr'

= kρ∫∫(1/|r-r'|)r'^2sinθdθdφ ∫dr'

= kρ∫∫(1/|r-r'|)r'^2sinθdθdφ (4/3)πr'^3

= (4/3)kρπ∫(1/|r-r'|)r'^2dr' ∫sinθdθ ∫dφ

= (4/3)kρπ∫(1/|r-r'|)r'^2dr' [2] [π/2]

= (8/3)kρπ∫(0 to r)(1/r')r'^2dr'

= (8/3)kρπ∫(0 to r)r'dr'

= (4/3)kρπr^2

따라서, ΔV = (4/3)kρπr^2 이다. 이는 "

"와 일치한다.

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