2016년08월21일 51번
[전기자기학] 선전하밀도 ρ(C/m)를 갖는 코일이 반원형의 형태를 취할 때, 반원의 중심에서 전계의 세기를 구하면 몇 V/m인가? (단, 반지름은 r(m)이다.)
- ① ρ/8πε0r2
- ② ρ/4πε0r
- ③ ρ/4πε0r2
- ④ ρ/2πε0r
(정답률: 36%)
문제 해설
반원의 중심에서 전계의 세기를 구하기 위해서는 적분을 사용해야 한다. 하지만 적분을 간단하게 하기 위해서는 적분 대상이 되는 전류 요소의 형태를 알아야 한다. 이 문제에서는 반원형의 코일이므로 전류 요소는 직선상에 있는 경우와 같이 구할 수 있다.
따라서, 반원의 중심에서의 전계의 세기 E는 다음과 같다.
E = ∫dE = ∫(ρdl/4πε0r2) = ρ/4πε0 ∫dl/r2
여기서 dl은 전류 요소의 길이를 나타내며, r은 반원의 반지름을 나타낸다. 전류 요소의 길이 dl은 반원의 둘레를 나타내는 2πr과 같으므로 다음과 같이 변환할 수 있다.
dl = rdθ
따라서, E = ρ/4πε0 ∫0πrdθ/r2 = ρ/4πε0 ∫0πdθ = ρ/2πε0r
따라서, 정답은 "ρ/2πε0r"이다.
따라서, 반원의 중심에서의 전계의 세기 E는 다음과 같다.
E = ∫dE = ∫(ρdl/4πε0r2) = ρ/4πε0 ∫dl/r2
여기서 dl은 전류 요소의 길이를 나타내며, r은 반원의 반지름을 나타낸다. 전류 요소의 길이 dl은 반원의 둘레를 나타내는 2πr과 같으므로 다음과 같이 변환할 수 있다.
dl = rdθ
따라서, E = ρ/4πε0 ∫0πrdθ/r2 = ρ/4πε0 ∫0πdθ = ρ/2πε0r
따라서, 정답은 "ρ/2πε0r"이다.
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