2017년09월23日 60번

[공정제어]
전달함수 인 2차계의 시정수 r와 damping factor ζ의 값은?

① r = 0.5, ζ = 0.8
② r = 0.8, ζ = 0.4
③ r = 0.4, ζ = 0.5
④ r = 0.5, ζ = 0.4

(정답률: 52%)

문제 해설

전달함수의 분모는 s^2 + 2ζrs + r^2 이고, 이를 특성방정식으로 나타내면 s^2 + 2ζrs + r^2 = 0 이 됩니다. 이때, 시정수 r은 특성방정식의 근 중에 하나이며, damping factor ζ는 근의 실수부분을 의미합니다.

따라서, r = 0.5 일 때, 특성방정식의 근 중 하나가 됩니다. 이때, damping factor ζ를 구하기 위해서는 특성방정식의 근 중 하나인 0.5를 대입하여 실수부분을 구하면 됩니다.

s^2 + 2ζrs + r^2 = 0 에서, s = -ζr ± r√(1-ζ^2) 이므로,

-ζr ± r√(1-ζ^2) = 0.5

-ζr = 0.5 - r√(1-ζ^2)

ζ^2r^2 = 0.25 - rζr√(1-ζ^2) + r^2(1-ζ^2)

ζ^2r^2 + rζr√(1-ζ^2) - 0.25 + r^2(1-ζ^2) = 0

위의 방정식을 ζ에 대해 풀면,

ζ = (-r ± √(r^2 - 4r^2(1-ζ^2) + 1)) / 2r

ζ = (-r ± √(4r^2ζ^2 - 3r^2 + 1)) / 2r

여기서, r = 0.5 일 때,

ζ = (-0.5 ± √(4(0.5)^2ζ^2 - 3(0.5)^2 + 1)) / 2(0.5)

ζ = (-0.5 ± √(1.5ζ^2 - 0.25))

ζ = (-0.5 ± √(1.5ζ^2 - 0.25)) / 1

이때, ζ는 damping factor 이므로, 0과 1 사이의 값을 가져야 합니다.

따라서, ζ = 0.4 일 때, damping factor 가 0과 1 사이의 값을 가지며, r = 0.5 일 때, 특성방정식의 근 중 하나가 되므로, 정답은 "r = 0.5, ζ = 0.4" 입니다.

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