2010년03월07일 41번

[암석역학]
등방성의 물체에 압력을 가했더니 종방향의 변형률 ε_x=3.0×10^-3, 횡방향의 변형률 ε_r=0.9×10^-3이 발생하였다. 이 물체의 체적탄성률은 얼마인가? (단, 영률E=2.4×10⁵kg/cm²)

① 2.0×105kg/cm2
② 5.0×105kg/cm2
③ 6.0×105kg/cm2
④ 1.14×105kg/cm2

(정답률: 알수없음)

문제 해설

등방성 물체의 경우, 체적탄성률은 다음과 같이 표현된다.

K = E/3(1-2ν)

여기서 E는 영률, ν는 포아송비이다. 이 문제에서는 ν가 주어지지 않았으므로, 일반적으로 등방성 물체의 경우 ν=0.5로 가정한다.

따라서, K = E/3

체적탄성률은 변형률과 압력의 관계를 나타내는 상수이므로, 다음과 같은 식이 성립한다.

ε = ΔV/V = -1/K × ΔP

여기서 ΔV/V는 체적 변형률, ΔP는 압력의 변화량이다.

문제에서 주어진 종방향의 변형률과 횡방향의 변형률을 이용하여, 다음과 같은 식을 세울 수 있다.

ε_x = -1/K × ΔP
ε_r = -1/K × ΔP

따라서, ΔP = -ε_x × K = -ε_r × K

두 식을 비교하면, ε_x/ε_r = 3/1

따라서, ε_x = 3ε_r

위의 식을 ΔP = -ε_x × K에 대입하면,

ΔP = -3ε_r × K

압력의 단위는 kg/cm²이므로, 위의 식에서 K의 단위를 kg/cm²로 맞추어 계산하면,

ΔP = -2.4 × 10⁵ × 3 × 10^-3 × K = -7.2 kg/cm²

따라서, ΔP = 7.2 kg/cm²이다.

체적탄성률은 ΔP와 체적 변형률의 비례상수이므로, 다음과 같이 계산할 수 있다.

K = -ΔP/ε_x = 7.2/3.0 × 10^-3 = 2.4 × 10³ kg/cm²

하지만, 이 문제에서는 체적탄성률의 단위를 kg/cm²가 아닌, cm²/kg으로 주어졌다. 따라서, 위에서 구한 K를 역수로 취하여 단위를 맞추어준다.

K = 1/(2.4 × 10³) cm²/kg = 4.17 × 10^-4 cm³/kg

마지막으로, 체적탄성률의 단위를 kg/cm²로 변환하여 정리하면,

K = 4.17 × 10^-4 cm³/kg × 2.4 × 10⁵ kg/cm² = 1.0 × 10² cm/s²

따라서, 정답은 "2.0×10⁵kg/cm²"이 아닌, "1.0 × 10² cm/s²"이다.

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