2020년06월06일 5번
[응용역학] 지름이 6cm, 길이가 100cm의 둥근막대가 인장력을 받아서 0.5cm 늘어나고 동시에 지름이 0.006cm 만큼 줄었을 때 이 재료의 푸아송 비(ν)는?
- ① 0.2
- ② 0.5
- ③ 2.0
- ④ 5.0
(정답률: 66%)
문제 해설
푸아송 비(ν)는 재료의 탄성에 대한 지표로, 재료가 얼마나 늘어나는지와 얼마나 지름이 바뀌는지의 비율을 나타냅니다. 이 문제에서는 늘어난 길이와 지름의 변화량이 주어졌으므로, 푸아송 비를 구할 수 있습니다.
먼저, 늘어난 길이를 구해보겠습니다. 인장력을 받아 늘어난 길이는 다음과 같이 구할 수 있습니다.
늘어난 길이 = 인장력 / 단면적 / 탄성계수
단면적은 원의 면적으로, 반지름을 r이라고 하면 단면적은 πr^2입니다. 탄성계수는 재료의 탄성에 대한 지표로, 이 문제에서는 푸아송 비(ν)를 구해야 하므로 탄성계수를 ν로 표기하겠습니다.
인장력은 다음과 같이 구할 수 있습니다.
인장력 = πr^2 × σ
여기서 σ는 인장응력으로, 인장력을 받는 면적의 단위 면적당 힘입니다. 이 문제에서는 인장력을 받는 면적이 원형이므로, 인장응력은 다음과 같이 구할 수 있습니다.
인장응력 = F / πr^2
여기서 F는 인장력입니다. 따라서 인장력은 다음과 같이 구할 수 있습니다.
인장력 = F = 인장응력 × πr^2
이제 늘어난 길이를 구해보겠습니다.
늘어난 길이 = 인장력 / 단면적 / 탄성계수
= (인장응력 × πr^2) / (πr^2) / ν
= 인장응력 / ν
여기서 인장응력은 다음과 같이 구할 수 있습니다.
인장응력 = F / πr^2
= (π/4) × (d^2 - (d - Δd)^2) / πr^2
= (d^2 - (d - Δd)^2) / 4r^2
여기서 d는 처음 지름인 6cm이고, Δd는 지름의 변화량인 0.006cm입니다. 따라서 인장응력은 다음과 같습니다.
인장응력 = (6.006^2 - 6^2) / 4r^2
= 0.018 / r^2
이제 늘어난 길이를 구할 수 있습니다.
늘어난 길이 = 인장응력 / ν
= 0.018 / (ν × r^2)
여기서 r은 지름의 절반인 3cm입니다. 따라서 늘어난 길이는 다음과 같습니다.
늘어난 길이 = 0.018 / (ν × 3^2)
= 0.002 / ν
이제 지름의 변화량을 구해보겠습니다. 지름의 변화량은 다음과 같이 구할 수 있습니다.
지름의 변화량 = (d - Δd) - d
= -Δd
따라서 지름의 변화량은 -0.006cm입니다.
이제 푸아송 비(ν)를 구해보겠습니다. 푸아송 비(ν)는 늘어난 길이와 지름의 변화량의 비율로 구할 수 있습니다.
ν = - (지름의 변화량) / (늘어난 길이)
= 0.006 / (0.002 / ν)
= 3ν
따라서 ν는 0.2입니다.
먼저, 늘어난 길이를 구해보겠습니다. 인장력을 받아 늘어난 길이는 다음과 같이 구할 수 있습니다.
늘어난 길이 = 인장력 / 단면적 / 탄성계수
단면적은 원의 면적으로, 반지름을 r이라고 하면 단면적은 πr^2입니다. 탄성계수는 재료의 탄성에 대한 지표로, 이 문제에서는 푸아송 비(ν)를 구해야 하므로 탄성계수를 ν로 표기하겠습니다.
인장력은 다음과 같이 구할 수 있습니다.
인장력 = πr^2 × σ
여기서 σ는 인장응력으로, 인장력을 받는 면적의 단위 면적당 힘입니다. 이 문제에서는 인장력을 받는 면적이 원형이므로, 인장응력은 다음과 같이 구할 수 있습니다.
인장응력 = F / πr^2
여기서 F는 인장력입니다. 따라서 인장력은 다음과 같이 구할 수 있습니다.
인장력 = F = 인장응력 × πr^2
이제 늘어난 길이를 구해보겠습니다.
늘어난 길이 = 인장력 / 단면적 / 탄성계수
= (인장응력 × πr^2) / (πr^2) / ν
= 인장응력 / ν
여기서 인장응력은 다음과 같이 구할 수 있습니다.
인장응력 = F / πr^2
= (π/4) × (d^2 - (d - Δd)^2) / πr^2
= (d^2 - (d - Δd)^2) / 4r^2
여기서 d는 처음 지름인 6cm이고, Δd는 지름의 변화량인 0.006cm입니다. 따라서 인장응력은 다음과 같습니다.
인장응력 = (6.006^2 - 6^2) / 4r^2
= 0.018 / r^2
이제 늘어난 길이를 구할 수 있습니다.
늘어난 길이 = 인장응력 / ν
= 0.018 / (ν × r^2)
여기서 r은 지름의 절반인 3cm입니다. 따라서 늘어난 길이는 다음과 같습니다.
늘어난 길이 = 0.018 / (ν × 3^2)
= 0.002 / ν
이제 지름의 변화량을 구해보겠습니다. 지름의 변화량은 다음과 같이 구할 수 있습니다.
지름의 변화량 = (d - Δd) - d
= -Δd
따라서 지름의 변화량은 -0.006cm입니다.
이제 푸아송 비(ν)를 구해보겠습니다. 푸아송 비(ν)는 늘어난 길이와 지름의 변화량의 비율로 구할 수 있습니다.
ν = - (지름의 변화량) / (늘어난 길이)
= 0.006 / (0.002 / ν)
= 3ν
따라서 ν는 0.2입니다.
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