2007년05월13일 44번
[기계유체역학] 내경 30cm의 원관 속을 절대압력 0.32Mpa, 온도 27℃인 공기가 4kg/s로 흐를 때 이 원관속을 흐르는 공기의 평균 속도는? (단, 공기의 기체상수 R= 287 J/kg·K이다.)
- ① 약 15.2 m/s
- ② 약 20.3 m/s
- ③ 약 25.2 m/s
- ④ 약 32.5 m/s
(정답률: 알수없음)
문제 해설
이 문제는 연속 방정식과 베르누이 방정식을 이용하여 풀 수 있습니다.
먼저, 연속 방정식은 유체의 질량이 일정하다는 것을 나타내는 방정식으로, 다음과 같이 표현됩니다.
$A_1v_1=A_2v_2$
여기서 $A$는 단면적, $v$는 속도를 나타냅니다. 이 방정식은 원관의 단면적이 일정하다는 가정 하에 적용됩니다.
다음으로, 베르누이 방정식은 유체의 에너지 보존 법칙으로, 다음과 같이 표현됩니다.
$frac{1}{2}rho v^2+rho gh+P=text{상수}$
여기서 $rho$는 유체의 밀도, $g$는 중력 가속도, $h$는 유체의 높이 차이, $P$는 유체의 압력을 나타냅니다. 이 방정식은 유체가 이동하면서 속도와 압력이 변화하는 경우에 적용됩니다.
이 문제에서는 원관의 단면적이 일정하므로 연속 방정식을 이용하여 흐르는 공기의 속도를 구한 후, 베르누이 방정식을 이용하여 압력과 속도의 관계를 구합니다.
먼저, 연속 방정식을 적용하면 다음과 같습니다.
$A_1v_1=A_2v_2$
$pi(frac{30}{2}text{cm})^2v_1=pi(frac{30}{2}text{cm})^2v_2$
$v_2=frac{v_1}{4}$
따라서, 원관의 다른 위치에서 흐르는 공기의 속도는 $v_2=frac{v_1}{4}$입니다.
다음으로, 베르누이 방정식을 적용하면 다음과 같습니다.
$frac{1}{2}rho v_1^2+rho gh_1+P_1=frac{1}{2}rho v_2^2+rho gh_2+P_2$
여기서 $h_1=h_2$이므로, $h$항은 상쇄됩니다. 또한, 절대압력을 사용하므로 대기압을 더해줘야 합니다.
$frac{1}{2}rho v_1^2+P_1+rho g=frac{1}{2}rho (frac{v_1}{4})^2+P_2+rho g$
$P_2=P_1+frac{7}{8}rho gv_1^2$
따라서, 원관의 다른 위치에서의 압력은 $P_2=P_1+frac{7}{8}rho gv_1^2$입니다.
이제, 주어진 조건을 대입하여 $v_1$을 구합니다.
$P_1=0.32text{MPa}=320text{kPa}$
$rho=frac{P}{RT}=frac{320times 10^3}{287times (27+273)}=1.14text{kg/m}^3$
$v_1=frac{dot{m}}{rho A}=frac{4}{1.14times pi (frac{30}{2}text{cm})^2}=15.2text{m/s}$
따라서, 원관 속을 흐르는 공기의 평균 속도는 약 15.2 m/s입니다.
먼저, 연속 방정식은 유체의 질량이 일정하다는 것을 나타내는 방정식으로, 다음과 같이 표현됩니다.
$A_1v_1=A_2v_2$
여기서 $A$는 단면적, $v$는 속도를 나타냅니다. 이 방정식은 원관의 단면적이 일정하다는 가정 하에 적용됩니다.
다음으로, 베르누이 방정식은 유체의 에너지 보존 법칙으로, 다음과 같이 표현됩니다.
$frac{1}{2}rho v^2+rho gh+P=text{상수}$
여기서 $rho$는 유체의 밀도, $g$는 중력 가속도, $h$는 유체의 높이 차이, $P$는 유체의 압력을 나타냅니다. 이 방정식은 유체가 이동하면서 속도와 압력이 변화하는 경우에 적용됩니다.
이 문제에서는 원관의 단면적이 일정하므로 연속 방정식을 이용하여 흐르는 공기의 속도를 구한 후, 베르누이 방정식을 이용하여 압력과 속도의 관계를 구합니다.
먼저, 연속 방정식을 적용하면 다음과 같습니다.
$A_1v_1=A_2v_2$
$pi(frac{30}{2}text{cm})^2v_1=pi(frac{30}{2}text{cm})^2v_2$
$v_2=frac{v_1}{4}$
따라서, 원관의 다른 위치에서 흐르는 공기의 속도는 $v_2=frac{v_1}{4}$입니다.
다음으로, 베르누이 방정식을 적용하면 다음과 같습니다.
$frac{1}{2}rho v_1^2+rho gh_1+P_1=frac{1}{2}rho v_2^2+rho gh_2+P_2$
여기서 $h_1=h_2$이므로, $h$항은 상쇄됩니다. 또한, 절대압력을 사용하므로 대기압을 더해줘야 합니다.
$frac{1}{2}rho v_1^2+P_1+rho g=frac{1}{2}rho (frac{v_1}{4})^2+P_2+rho g$
$P_2=P_1+frac{7}{8}rho gv_1^2$
따라서, 원관의 다른 위치에서의 압력은 $P_2=P_1+frac{7}{8}rho gv_1^2$입니다.
이제, 주어진 조건을 대입하여 $v_1$을 구합니다.
$P_1=0.32text{MPa}=320text{kPa}$
$rho=frac{P}{RT}=frac{320times 10^3}{287times (27+273)}=1.14text{kg/m}^3$
$v_1=frac{dot{m}}{rho A}=frac{4}{1.14times pi (frac{30}{2}text{cm})^2}=15.2text{m/s}$
따라서, 원관 속을 흐르는 공기의 평균 속도는 약 15.2 m/s입니다.
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