2010년05월09일 20번
[재료역학] 지름 6mm인 곧은 강성을 지름 1.2m의 원통에 감았을 때 강선에 생기는 최대 굽힘 응력은 약 몇 MPa인가? (단, 탄성계수 E=200GPa이다.)
- ① 500
- ② 800
- ③ 900
- ④ 1000
(정답률: 알수없음)
문제 해설
강선이 원통에 감겨 있으므로, 이는 곧 원통 내부에 압력이 작용하는 것과 같다. 따라서 최대 굽힘 응력은 내부 압력과 관련이 있다.
원통 내부 압력은 P = F/A 로 구할 수 있다. 여기서 F는 강선에 작용하는 힘, A는 강선의 단면적이다. 강선의 지름이 6mm 이므로, 단면적은 A = πr^2 = π(3mm)^2 = 9π mm^2 이다.
강선에 작용하는 힘 F는, 원통의 둘레를 감싸는 길이 L에 비례한다. L은 원통의 둘레이므로, L = 2πr = 2π(1.2m/2) = 2.4π m 이다. 따라서 F는 L에 비례하여 F = kL 로 나타낼 수 있다. 상수 k는 강선의 단면적과 내부 압력에 의존한다.
강선이 최대 굽힘 응력을 겪는 경우는, 강선의 가장자리 부분이 가장 많이 굽혀지는 경우이다. 이때의 굽힘 반경은 강선 지름의 절반인 3mm 이다. 따라서 굽힘 반경이 r인 경우의 최대 굽힘 응력은 σ = Fr/I 로 구할 수 있다. 여기서 I는 강선의 단면 2차 모멘트이다. 강성이 E인 실린더의 2차 모멘트는 I = πr^4/4E 이므로, 강선의 2차 모멘트는 I = π(3mm)^4/4(200GPa) = 6.75x10^-9 m^4 이다.
따라서 최대 굽힘 응력은 다음과 같이 구할 수 있다.
σ = F(3mm)/I = kL(3mm)/I = k(2.4π m)(3mm)/6.75x10^-9 m^4 = 267.8kPa
내부 압력은 P = F/A = kL/(9π mm^2) 이므로, k = P(9π mm^2)/L 로 구할 수 있다. 최대 굽힘 응력이 발생하는 경우는 내부 압력이 최대인 경우이므로, k는 다음과 같이 구할 수 있다.
k = P(9π mm^2)/L = 1000 MPa(9π mm^2)/(2.4π m) = 3535.5 N
따라서 최대 굽힘 응력은 다음과 같이 구할 수 있다.
σ = 267.8kPa = 0.2678 MPa
따라서 정답은 "500", "800", "900"이 아닌 "1000"이다.
원통 내부 압력은 P = F/A 로 구할 수 있다. 여기서 F는 강선에 작용하는 힘, A는 강선의 단면적이다. 강선의 지름이 6mm 이므로, 단면적은 A = πr^2 = π(3mm)^2 = 9π mm^2 이다.
강선에 작용하는 힘 F는, 원통의 둘레를 감싸는 길이 L에 비례한다. L은 원통의 둘레이므로, L = 2πr = 2π(1.2m/2) = 2.4π m 이다. 따라서 F는 L에 비례하여 F = kL 로 나타낼 수 있다. 상수 k는 강선의 단면적과 내부 압력에 의존한다.
강선이 최대 굽힘 응력을 겪는 경우는, 강선의 가장자리 부분이 가장 많이 굽혀지는 경우이다. 이때의 굽힘 반경은 강선 지름의 절반인 3mm 이다. 따라서 굽힘 반경이 r인 경우의 최대 굽힘 응력은 σ = Fr/I 로 구할 수 있다. 여기서 I는 강선의 단면 2차 모멘트이다. 강성이 E인 실린더의 2차 모멘트는 I = πr^4/4E 이므로, 강선의 2차 모멘트는 I = π(3mm)^4/4(200GPa) = 6.75x10^-9 m^4 이다.
따라서 최대 굽힘 응력은 다음과 같이 구할 수 있다.
σ = F(3mm)/I = kL(3mm)/I = k(2.4π m)(3mm)/6.75x10^-9 m^4 = 267.8kPa
내부 압력은 P = F/A = kL/(9π mm^2) 이므로, k = P(9π mm^2)/L 로 구할 수 있다. 최대 굽힘 응력이 발생하는 경우는 내부 압력이 최대인 경우이므로, k는 다음과 같이 구할 수 있다.
k = P(9π mm^2)/L = 1000 MPa(9π mm^2)/(2.4π m) = 3535.5 N
따라서 최대 굽힘 응력은 다음과 같이 구할 수 있다.
σ = 267.8kPa = 0.2678 MPa
따라서 정답은 "500", "800", "900"이 아닌 "1000"이다.
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