2019년03월03일 34번
[기계열역학] 압력 2MPa, 300℃의 공기 0.3kg이 폴리트로픽과정으로 팽창하여, 압력이 0.5MPa로 변화하였다. 이때 공기가 한 일은 약 몇kJ인가? (단, 공기는 기체상수가 0.287kJ/(kgㆍK)인 이상기체이고, 폴리트로픽 지수는 1.3이다.
- ① 416
- ② 157
- ③ 573
- ④ 45
(정답률: 27%)
문제 해설
폴리트로픽 과정에서는 압력과 체적이 동시에 변화하므로, 일반적인 상태방정식을 사용할 수 없다. 대신에 폴리트로픽 지수를 이용하여 다음과 같은 식을 사용한다.
(P1V1^1.3) / T1 = (P2V2^1.3) / T2
여기서 P1, V1, T1은 초기 상태의 압력, 체적, 온도이고, P2, V2는 최종 상태의 압력, 체적이다. 이 식을 V2에 대해 풀면 다음과 같다.
V2 = V1 * (P1/P2)^(1/1.3)
따라서, 공기의 체적 변화량은 다음과 같다.
ΔV = V2 - V1 = V1 * [(P1/P2)^(1/1.3) - 1]
공기가 한 일은 다음과 같다.
W = ΔU = n * Cv * ΔT
여기서 n은 공기의 몰수, Cv는 등압비열이다. 공기의 몰수는 다음과 같다.
n = m / M = 0.3 / 28.97 = 0.01036 mol
등압비열은 다음과 같다.
Cv = R / (γ - 1) = 0.287 / (1.3 - 1) = 1.435 kJ/(kg·K)
따라서, 공기가 한 일은 다음과 같다.
W = ΔU = n * Cv * ΔT = n * Cv * (T2 - T1)
여기서 ΔT는 폴리트로픽 과정에서의 온도 변화량이다. 폴리트로픽 과정에서는 엔트로피가 일정하므로, 다음과 같은 식이 성립한다.
T2 / T1 = (P2 / P1)^((γ-1)/γ)
여기서 γ는 공기의 기체상수와 Cp, Cv의 비율인 1.4이다. 따라서,
T2 / T1 = (0.5 / 2)^(0.4) = 0.756
따라서, ΔT = T2 - T1 = -63.6℃ 이다. 따라서,
W = n * Cv * ΔT = 0.01036 * 1.435 * (-63.6) = -0.938 kJ
여기서 음수는 공기가 한 일이 아니라, 환경으로부터 받은 일을 나타낸다. 따라서, 공기가 한 일은 0.938 kJ이다. 이 값을 3자리에서 반올림하면 0.94 kJ이고, 이를 1,000으로 곱하면 940 J이다. 이 값을 1,000으로 나누면 0.94 kJ이므로, 보기에서 정답은 "573"이 아니라 "45"이다.
(P1V1^1.3) / T1 = (P2V2^1.3) / T2
여기서 P1, V1, T1은 초기 상태의 압력, 체적, 온도이고, P2, V2는 최종 상태의 압력, 체적이다. 이 식을 V2에 대해 풀면 다음과 같다.
V2 = V1 * (P1/P2)^(1/1.3)
따라서, 공기의 체적 변화량은 다음과 같다.
ΔV = V2 - V1 = V1 * [(P1/P2)^(1/1.3) - 1]
공기가 한 일은 다음과 같다.
W = ΔU = n * Cv * ΔT
여기서 n은 공기의 몰수, Cv는 등압비열이다. 공기의 몰수는 다음과 같다.
n = m / M = 0.3 / 28.97 = 0.01036 mol
등압비열은 다음과 같다.
Cv = R / (γ - 1) = 0.287 / (1.3 - 1) = 1.435 kJ/(kg·K)
따라서, 공기가 한 일은 다음과 같다.
W = ΔU = n * Cv * ΔT = n * Cv * (T2 - T1)
여기서 ΔT는 폴리트로픽 과정에서의 온도 변화량이다. 폴리트로픽 과정에서는 엔트로피가 일정하므로, 다음과 같은 식이 성립한다.
T2 / T1 = (P2 / P1)^((γ-1)/γ)
여기서 γ는 공기의 기체상수와 Cp, Cv의 비율인 1.4이다. 따라서,
T2 / T1 = (0.5 / 2)^(0.4) = 0.756
따라서, ΔT = T2 - T1 = -63.6℃ 이다. 따라서,
W = n * Cv * ΔT = 0.01036 * 1.435 * (-63.6) = -0.938 kJ
여기서 음수는 공기가 한 일이 아니라, 환경으로부터 받은 일을 나타낸다. 따라서, 공기가 한 일은 0.938 kJ이다. 이 값을 3자리에서 반올림하면 0.94 kJ이고, 이를 1,000으로 곱하면 940 J이다. 이 값을 1,000으로 나누면 0.94 kJ이므로, 보기에서 정답은 "573"이 아니라 "45"이다.
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