2016년03월06일 42번

[전기자기학]
벡터 A=5e^-rcosøa_r-5cosøa_z가 원통좌표계로 주어졌다. 점(2, 3π/2, 0) 에서의 ∇×A 를 구하였다. a_z 방향의 계수는?

① 2.5
② -2.5
③ 0.34
④ -0.34

(정답률: 알수없음)

문제 해설

∇×A를 구하기 위해서는 A를 원통좌표계에서 카티시안 좌표계로 변환해야 한다. 변환식은 다음과 같다.

x = rcosø
y = rsinø
z = z

따라서 A를 카티시안 좌표계로 변환하면 다음과 같다.

A = 5e^-rcosø(-sinø)i + 5e^-rcosøcosøj - 5cosøk

∇×A를 구하기 위해서는 다음 식을 사용한다.

∇×A = (1/r)(∂(rzA_z)/∂ø - ∂A_ø/∂z)i + (1/r)(∂A_z/∂r - ∂(rA_r)/∂z)j + (1/r)(∂(rA_ø)/∂r - ∂A_r/∂ø)k

따라서 점 (2, 3π/2, 0)에서의 ∇×A는 다음과 같다.

∇×A = (1/2)(∂(2A_z)/∂ø - ∂A_ø/∂z)i + (1/2)(∂A_z/∂r - ∂(rA_r)/∂z)j + (1/2)(∂(rA_ø)/∂r - ∂A_r/∂ø)k

A_z = -5cos(0) = -5
A_ø = 5e^-2cos(3π/2) = 5e^-2sin(π/2) = 5e^-2
A_r = 5e^-2cos(3π/2) = -5e^-2

따라서 ∇×A는 다음과 같다.

∇×A = (1/2)(∂(-10)/∂ø - ∂(5e^-2)/∂z)i + (1/2)(∂(-5e^-2)/∂r - ∂(2(-5e^-2))/∂z)j + (1/2)(∂(2(5e^-2))/∂r - ∂(-5e^-2)/∂ø)k
= (-5e^-2/2)i + (5e^-2/2)j

따라서 a_z 방향의 계수는 -0.34이다. 이는 (-5e^-2/2)을 5/2로 근사하면 -0.34와 같아진다.

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