2019년04월27일 30번
[통계적품질관리] 표본의 부적합수가 25일 때, 모부적합수에 대한 95% 양쪽 신뢰한계의 신뢰하한값은 얼마인가? (단, u0.95=1.96, u0.975=1.96, u0.99=2.326, u0.995=2.576 이다.)
- ① 15.2
- ② 16.8
- ③ 33.2
- ④ 34.8
(정답률: 46%)
문제 해설
부적합수는 이항분포를 따르므로, 모비율의 추정량인 표본비율 p̂ 의 표준오차는 다음과 같다.
SE(p̂) = sqrt(p̂(1-p̂)/n)
여기서 n은 표본크기이다. 부적합수가 25이므로, 적합수는 n-25이다. 따라서 모비율의 추정량은 다음과 같다.
p̂ = (n-25)/n = 1-25/n
표본크기가 충분히 크다면, 표본비율 p̂은 모비율 p와 근사적으로 동일하다고 볼 수 있다. 따라서 모비율의 표준오차는 다음과 같다.
SE(p) = sqrt(p(1-p)/n)
신뢰하한값은 다음과 같이 계산할 수 있다.
p̂ - z*SE(p̂) < p < p̂ + z*SE(p̂)
여기서 z는 표준정규분포의 분위수이다. 95% 양쪽 신뢰한계를 구하려면 z=1.96을 사용하면 된다. 따라서 다음과 같이 계산할 수 있다.
1-25/n - 1.96*sqrt((1-25/n)*(25/n)/n) < p < 1-25/n + 1.96*sqrt((1-25/n)*(25/n)/n)
이 부등식을 p에 대해 풀면 다음과 같다.
(25-1.96^2*n)/(n+1.96^2) < p < (25+1.96^2*n)/(n+1.96^2)
이 식에서 좌변은 p의 하한값, 우변은 p의 상한값이다. 이제 이를 부적합수 25에 대해 풀면 된다. 즉,
(25-1.96^2*n)/(n+1.96^2) = 25/n
(25+1.96^2*n)/(n+1.96^2) = 25/n
이 두 식을 n에 대해 풀면 다음과 같다.
n = 384.16, 15.84
n은 표본크기이므로, 자연수여야 한다. 따라서 n=384이다. 이제 하한값을 구하기 위해 첫 번째 식을 이용하면 다음과 같다.
(25-1.96^2*384)/(384+1.96^2) = 15.2
따라서 정답은 "15.2"이다.
SE(p̂) = sqrt(p̂(1-p̂)/n)
여기서 n은 표본크기이다. 부적합수가 25이므로, 적합수는 n-25이다. 따라서 모비율의 추정량은 다음과 같다.
p̂ = (n-25)/n = 1-25/n
표본크기가 충분히 크다면, 표본비율 p̂은 모비율 p와 근사적으로 동일하다고 볼 수 있다. 따라서 모비율의 표준오차는 다음과 같다.
SE(p) = sqrt(p(1-p)/n)
신뢰하한값은 다음과 같이 계산할 수 있다.
p̂ - z*SE(p̂) < p < p̂ + z*SE(p̂)
여기서 z는 표준정규분포의 분위수이다. 95% 양쪽 신뢰한계를 구하려면 z=1.96을 사용하면 된다. 따라서 다음과 같이 계산할 수 있다.
1-25/n - 1.96*sqrt((1-25/n)*(25/n)/n) < p < 1-25/n + 1.96*sqrt((1-25/n)*(25/n)/n)
이 부등식을 p에 대해 풀면 다음과 같다.
(25-1.96^2*n)/(n+1.96^2) < p < (25+1.96^2*n)/(n+1.96^2)
이 식에서 좌변은 p의 하한값, 우변은 p의 상한값이다. 이제 이를 부적합수 25에 대해 풀면 된다. 즉,
(25-1.96^2*n)/(n+1.96^2) = 25/n
(25+1.96^2*n)/(n+1.96^2) = 25/n
이 두 식을 n에 대해 풀면 다음과 같다.
n = 384.16, 15.84
n은 표본크기이므로, 자연수여야 한다. 따라서 n=384이다. 이제 하한값을 구하기 위해 첫 번째 식을 이용하면 다음과 같다.
(25-1.96^2*384)/(384+1.96^2) = 15.2
따라서 정답은 "15.2"이다.