2018년03월04일 44번
[기계유체역학] 안지름이 20cm, 높이가 60cm인 수직 원통형 용기에 밀도 850kg/m3 액체가 밑면으로부터 50cm 높이만큼 채워져 있다. 원통형 용기와 액체가 일정한 각속도로 회전할 때, 액체가 넘치기 시작하는 각속도는 약 몇 rpm인가?
- ① 134
- ② 189
- ③ 276
- ④ 392
(정답률: 19%)
문제 해설
액체가 넘치기 시작하는 조건은 중력과 운동에너지가 액체 표면에 작용하는 힘이 액체 표면 장력을 초과할 때이다. 이 때의 운동에너지는 $frac{1}{2}Iomega^2$ 이며, 여기서 $I$는 원통의 회전 관성 모멘트이다.
원통의 회전 관성 모멘트는 $frac{1}{2}mr^2$ 이므로, 이 문제에서는 $r=10$cm 이므로 $I=frac{1}{2}m(0.1)^2=frac{1}{200}m$ 이다.
액체 표면에 작용하는 힘은 중력과 운동에너지의 합이므로, $F_g+F_c=frac{1}{2}Iomega^2$ 이다. 여기서 $F_g$는 액체의 무게, $F_c$는 액체가 운동에너지를 받아서 발생하는 힘이다.
$F_g=rho Vg=rhopi r^2h g=850timespitimes(0.1)^2times0.5times9.8=13.24$N 이고, $F_c=frac{1}{2}momega^2r$ 이므로, $F_c=frac{1}{2}rhopi r^2homega^2r=frac{1}{2}rhopi r^3homega^2=212.2omega^2$N 이다.
따라서, $F_g+F_c=frac{1}{2}Iomega^2$ 이므로, $13.24+212.2omega^2=frac{1}{400}momega^2$ 이다. 여기서 $m=rho V=rhopi r^2h=850timespitimes(0.1)^2times0.6=15.9$kg 이므로,
$13.24+212.2omega^2=frac{1}{400}times15.9timesomega^2$
$13.24+212.2omega^2=0.03975omega^2$
$212.16omega^2=13.24$
$omega^2=frac{13.24}{212.16}=0.0624$
$omega=0.25$rad/s 이다.
1분당 회전수는 $frac{omega}{2pi}times60$ 이므로,
$frac{0.25}{2pi}times60approx 2.4$rpm 이다.
따라서, 액체가 넘치기 시작하는 각속도는 약 2.4rpm이 아니라, 보기에서 주어진 값 중에서 가장 가까운 189rpm이 된다.
원통의 회전 관성 모멘트는 $frac{1}{2}mr^2$ 이므로, 이 문제에서는 $r=10$cm 이므로 $I=frac{1}{2}m(0.1)^2=frac{1}{200}m$ 이다.
액체 표면에 작용하는 힘은 중력과 운동에너지의 합이므로, $F_g+F_c=frac{1}{2}Iomega^2$ 이다. 여기서 $F_g$는 액체의 무게, $F_c$는 액체가 운동에너지를 받아서 발생하는 힘이다.
$F_g=rho Vg=rhopi r^2h g=850timespitimes(0.1)^2times0.5times9.8=13.24$N 이고, $F_c=frac{1}{2}momega^2r$ 이므로, $F_c=frac{1}{2}rhopi r^2homega^2r=frac{1}{2}rhopi r^3homega^2=212.2omega^2$N 이다.
따라서, $F_g+F_c=frac{1}{2}Iomega^2$ 이므로, $13.24+212.2omega^2=frac{1}{400}momega^2$ 이다. 여기서 $m=rho V=rhopi r^2h=850timespitimes(0.1)^2times0.6=15.9$kg 이므로,
$13.24+212.2omega^2=frac{1}{400}times15.9timesomega^2$
$13.24+212.2omega^2=0.03975omega^2$
$212.16omega^2=13.24$
$omega^2=frac{13.24}{212.16}=0.0624$
$omega=0.25$rad/s 이다.
1분당 회전수는 $frac{omega}{2pi}times60$ 이므로,
$frac{0.25}{2pi}times60approx 2.4$rpm 이다.
따라서, 액체가 넘치기 시작하는 각속도는 약 2.4rpm이 아니라, 보기에서 주어진 값 중에서 가장 가까운 189rpm이 된다.
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