2019년04월27日 92번

[반응공학]
다단완전 혼합류 조작에 있어서 1차 반응에 대한 체류시간을 옳게 나타낸 것은? (단, k는 반응속도 정수, t는 각단의 용적이 같을 때 한단에서의 체류 시간, X_A₀는 n단 직렬인 경우의 최종단 출구에서의 A의 전화율, n은 단수이다.)

① kt=(1-XAn)1/n-1
② t/k=(1-XAn)1/n-1
③ kt=(1-XAn)-1/n-1
④ t/k=(1-XAn)-1/n-1

(정답률: 31%)

문제 해설

정답은 "kt=(1-X_A_n)^-¹^/ⁿ-1"이다.

다단완전 혼합류에서 각 단에서의 A의 전달율은 X_A=1-(1-X_A₀)ⁿ으로 나타낼 수 있다. 이때, 최종단에서의 A의 전달율은 X_A_n=1-(1-X_A)^1/n이다.

1차 반응에서의 반응속도식은 dC/dt=-kC이다. 이를 풀면 ln(C/C₀)=-kt이다. 여기서 C는 반응물의 농도이고, C₀는 초기 농도이다.

한 단에서의 용적이 같을 때, 해당 단에서의 체류시간 t는 용적(V)을 유동률(Q)로 나눈 값으로 나타낼 수 있다. 즉, t=V/Q이다.

따라서, 최종단에서의 A의 전달율 X_A_n과 1차 반응식에서의 kt를 이용하여 t를 구하면 다음과 같다.

X_A_n=1-(1-X_A)^1/n
=> 1-X_A_n=(1-X_A)^1/n
=> (1-X_A_n)^-n=1-X_A
=> X_A=1-(1-X_A_n)ⁿ

따라서, ln(C/C₀)=-kt에서 C/C₀=e^-kt이므로,

e^-kt=1-X_A
=> kt=-ln(1-X_A)
=> kt=(1-X_A)^-1
=> t/k=(1-X_A)^1/n-1
=> kt=(1-X_A)^-1/n-1

따라서, kt=(1-X_A_n)^-1/n-1이다.

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