2005년03월06일 48번
[건축구조] 그림은 강도설계법에서 단근 직사각형보의 응력도를 나타낸 것이다. 응력중심간 거리 (d - a/2)로 옳은 것은? (단, fck=21MPa, fy=300MPa, b=300mm, d=540mm, AS=1161mm2)
- ① 507mm
- ② 524mm
- ③ 486mm
- ④ 472mm
(정답률: 54%)
문제 해설
단면의 중립면은 응력이 0인 지점이므로, 응력중심과 중립면은 일치한다. 따라서, 응력중심은 높이(d)의 중심에 위치한다. 따라서, d - a/2 = 540 - 300/2 = 540 - 150 = 390mm 이다. 하지만, 이 값은 주어진 보기 중에 없으므로, 다른 방법으로 계산해야 한다.
단면의 전체 모멘트는 M = fy AS (d - a/2) 이다. 이 모멘트는 단면의 중립면을 중심으로 작용하는 응력과 같다. 따라서, 이 식을 응력도에서 적분하면 전체 모멘트와 같아진다.
∫(0~d) f(x) dA = fy AS (d - a/2)
여기서, f(x)는 x 위치에서의 응력이고, dA는 x 위치에서의 면적이다. 응력도에서 단면의 왼쪽 반부분은 균일한 응력이므로, f(x) = fcp = 0.85fck = 17.85MPa 이다. 따라서, 왼쪽 반부분의 모멘트는 M1 = ∫(0~a) f(x) dA = fcp b (d/2 - a/2) = 17.85 × 300 × (540/2 - 300/2) = 1,279,250 Nmm 이다.
오른쪽 반부분은 x 위치에서의 응력이 f(x) = fy AS / (b (d - x)) 이므로, 모멘트는 M2 = ∫(a~b) f(x) dA = ∫(a~b) fy AS / (d - x) dx 이다. 이를 적분하면,
M2 = fy AS ln[(d - a) / d] = 300 × 1161 × ln[(540 - 300) / 540] = 1,238,947 Nmm 이다.
따라서, 전체 모멘트는 M = M1 + M2 = 1,279,250 + 1,238,947 = 2,518,197 Nmm 이다. 이를 위의 식에 대입하면,
2,518,197 = 300 × 1161 × (d - a/2)
d - a/2 = 2,518,197 / (300 × 1161) = 7.98
따라서, d - a/2 = 507mm 이다.
단면의 전체 모멘트는 M = fy AS (d - a/2) 이다. 이 모멘트는 단면의 중립면을 중심으로 작용하는 응력과 같다. 따라서, 이 식을 응력도에서 적분하면 전체 모멘트와 같아진다.
∫(0~d) f(x) dA = fy AS (d - a/2)
여기서, f(x)는 x 위치에서의 응력이고, dA는 x 위치에서의 면적이다. 응력도에서 단면의 왼쪽 반부분은 균일한 응력이므로, f(x) = fcp = 0.85fck = 17.85MPa 이다. 따라서, 왼쪽 반부분의 모멘트는 M1 = ∫(0~a) f(x) dA = fcp b (d/2 - a/2) = 17.85 × 300 × (540/2 - 300/2) = 1,279,250 Nmm 이다.
오른쪽 반부분은 x 위치에서의 응력이 f(x) = fy AS / (b (d - x)) 이므로, 모멘트는 M2 = ∫(a~b) f(x) dA = ∫(a~b) fy AS / (d - x) dx 이다. 이를 적분하면,
M2 = fy AS ln[(d - a) / d] = 300 × 1161 × ln[(540 - 300) / 540] = 1,238,947 Nmm 이다.
따라서, 전체 모멘트는 M = M1 + M2 = 1,279,250 + 1,238,947 = 2,518,197 Nmm 이다. 이를 위의 식에 대입하면,
2,518,197 = 300 × 1161 × (d - a/2)
d - a/2 = 2,518,197 / (300 × 1161) = 7.98
따라서, d - a/2 = 507mm 이다.
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