2019년09월21일 30번
[통계적품질관리] M성분의 평균치가 97% 이상인 로트는 합격시키고 94% 이하인 로트는 불합격시키고 싶다. 로트의 표준편차 σ=2.0%, α=0.05, β=1.0을 만족하는 시료의 크기 n은 얼마인가? (단, Kα=1.645, Kβ=1.282이다.)
- ① 4개
- ② 6개
- ③ 16개
- ④ 36개
(정답률: 37%)
문제 해설
이 문제는 검정력 분석을 통해 해결할 수 있다.
먼저, 귀무가설과 대립가설을 설정해보자.
- 귀무가설 H0: 로트의 평균치는 97% 미만이다.
- 대립가설 H1: 로트의 평균치는 97% 이상이다.
이제, 유의수준 α와 검정력 β를 고려하여 검정통계량을 계산해보자.
- 유의수준 α = 0.05 이므로, 양측검정에서 각각 α/2 = 0.025의 유의수준을 사용한다.
- 검정력 β = 1.0 이므로, 즉, 97% 이상인 로트를 합격시키는 것이 목표이므로, 우측검정을 사용한다.
- 표준정규분포에서 Kα/2 = 1.645, Kβ = 1.282 이다.
따라서, 검정통계량 Z0.025 = 1.645, Z0.8 = 1.282 이다.
이제, 표본크기 n을 구하기 위해 다음의 식을 사용한다.
n = (Z0.025 + Z0.8)2 × σ2 / (μ1 - μ0)2
여기서, μ1 = 0.97, μ0 = 0.94, σ = 0.02 이다.
따라서,
n = (1.645 + 1.282)2 × 0.022 / (0.97 - 0.94)2 ≈ 4
따라서, 시료의 크기 n은 4개이다.
정답이 "4개" 인 이유는, 검정력 β가 1.0으로 매우 높기 때문에, 귀무가설이 거짓일 때 대립가설을 올바르게 채택할 확률이 매우 높다. 따라서, 표본크기를 작게 설정해도 검정력이 충분하게 확보되어, 시료의 크기를 최소화할 수 있다.
먼저, 귀무가설과 대립가설을 설정해보자.
- 귀무가설 H0: 로트의 평균치는 97% 미만이다.
- 대립가설 H1: 로트의 평균치는 97% 이상이다.
이제, 유의수준 α와 검정력 β를 고려하여 검정통계량을 계산해보자.
- 유의수준 α = 0.05 이므로, 양측검정에서 각각 α/2 = 0.025의 유의수준을 사용한다.
- 검정력 β = 1.0 이므로, 즉, 97% 이상인 로트를 합격시키는 것이 목표이므로, 우측검정을 사용한다.
- 표준정규분포에서 Kα/2 = 1.645, Kβ = 1.282 이다.
따라서, 검정통계량 Z0.025 = 1.645, Z0.8 = 1.282 이다.
이제, 표본크기 n을 구하기 위해 다음의 식을 사용한다.
n = (Z0.025 + Z0.8)2 × σ2 / (μ1 - μ0)2
여기서, μ1 = 0.97, μ0 = 0.94, σ = 0.02 이다.
따라서,
n = (1.645 + 1.282)2 × 0.022 / (0.97 - 0.94)2 ≈ 4
따라서, 시료의 크기 n은 4개이다.
정답이 "4개" 인 이유는, 검정력 β가 1.0으로 매우 높기 때문에, 귀무가설이 거짓일 때 대립가설을 올바르게 채택할 확률이 매우 높다. 따라서, 표본크기를 작게 설정해도 검정력이 충분하게 확보되어, 시료의 크기를 최소화할 수 있다.