2010년03월07일 52번
[기계유체역학] 그림과 같이 속도의 크기 U로 x축과 임의의 각도 α를 가지고 흐르는 균일 직선유동에 대한 유동함수(stream function) ø를 극좌표 r, θ로 나타낸 것은?
- ① ø = Ursin(θ-α)
- ② ø = Ursin(α-θ)
- ③ ø = Urcos(θ-α)
- ④ ø = Urcos(α-θ)
(정답률: 17%)
문제 해설
극좌표에서의 유동함수는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
ø = rΨ(r,θ)
여기서 Ψ(r,θ)는 유동함수의 각도에 대한 함수입니다. 따라서 우리는 Ψ(r,θ)를 구해야 합니다.
유체의 직선유동이므로, 유체 입자는 x축 방향으로 U만큼의 속도를 가지고 이동합니다. 따라서 유체 입자의 속도는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
v_r = Ucos(θ-α)
v_θ = -Usin(θ-α)
여기서 v_r은 극좌표에서의 방사성 속도, v_θ는 극좌표에서의 각속도입니다.
유동함수는 다음과 같이 정의됩니다.
ø = ∫v_r dθ
여기서 ∫는 적분 기호입니다. 따라서 위의 속도식을 대입하면 다음과 같습니다.
ø = ∫Ucos(θ-α) dθ
이를 적분하면 다음과 같습니다.
ø = Usin(θ-α) + C
여기서 C는 적분 상수입니다. C는 유동함수의 값이 0인 지점에서의 상수이므로, C=0으로 설정할 수 있습니다.
따라서 유동함수는 다음과 같습니다.
ø = Ursin(θ-α)
따라서 정답은 "ø = Ursin(θ-α)"입니다.
ø = rΨ(r,θ)
여기서 Ψ(r,θ)는 유동함수의 각도에 대한 함수입니다. 따라서 우리는 Ψ(r,θ)를 구해야 합니다.
유체의 직선유동이므로, 유체 입자는 x축 방향으로 U만큼의 속도를 가지고 이동합니다. 따라서 유체 입자의 속도는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
v_r = Ucos(θ-α)
v_θ = -Usin(θ-α)
여기서 v_r은 극좌표에서의 방사성 속도, v_θ는 극좌표에서의 각속도입니다.
유동함수는 다음과 같이 정의됩니다.
ø = ∫v_r dθ
여기서 ∫는 적분 기호입니다. 따라서 위의 속도식을 대입하면 다음과 같습니다.
ø = ∫Ucos(θ-α) dθ
이를 적분하면 다음과 같습니다.
ø = Usin(θ-α) + C
여기서 C는 적분 상수입니다. C는 유동함수의 값이 0인 지점에서의 상수이므로, C=0으로 설정할 수 있습니다.
따라서 유동함수는 다음과 같습니다.
ø = Ursin(θ-α)
따라서 정답은 "ø = Ursin(θ-α)"입니다.
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