2015년09월19일 92번
[기계제작법 및 기계동력학] 100kg의 균일한 원통(반지름 2m)이 그림과 같이 수평면 위를 미끄럼없이 구른다. 이 원통에 연결된 스프링의 탄성계수는 450N/m, 초기 변위 x(0)=0m 이며, 초기속도는 x(0)=2m/s 일 때 변위 x(t)를 시간의 함수로 옳게 표현헌 것은? (단, 스프링은 시작점에서는 늘어나지 않은 상태로 있다고 가정한다.)
- ① 1.15cos(√3t)
- ② 1.15sin(√3t)
- ③ 3.46cos(√2t)
- ④ 3.46sin(√2t)
(정답률: 24%)
문제 해설
운동방정식을 세우면, F = ma = mg - kx 이다. 여기서 x는 스프링의 길이 변화량이므로, x = x0sin(ωt) 이다. 따라서, F = mg - kx0sin(ωt) 이다. 이를 가속도로 바꾸면, a = g - (k/m)x0sin(ωt) 이다. 이를 적분하면, v = ∫(g - (k/m)x0sin(ωt))dt = gt - (k/mω) x0cos(ωt) + C 이다. 초기속도가 2m/s 이므로, C = 2m/s 이다. 따라서, v = gt - (k/mω) x0cos(ωt) + 2m/s 이다. 이를 다시 적분하면, x = ∫(gt - (k/mω) x0cos(ωt) + 2m/s)dt = (1/2)gt^2 - (k/mω^2) x0sin(ωt) + 2t + D 이다. 초기 변위가 0m 이므로, D = 0 이다. 따라서, x = (1/2)gt^2 - (k/mω^2) x0sin(ωt) + 2t 이다. 여기서, ω = √(k/m) 이므로, x = (1/2)gt^2 - (x0/ω)sin(ωt) + 2t 이다. 주어진 보기 중에서 이와 일치하는 것은 "1.15sin(√3t)" 이다. 이는 x0 = 1.15m, ω = √(k/m) = √(450/100) = 3√2 rad/s 이므로, (x0/ω)sin(ωt) = (1.15/3√2)sin(3√2t) 이다. 따라서, x = (1/2)gt^2 - (1.15/3√2)sin(3√2t) + 2t 이다.
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