2004년03월07일 61번

[회로이론]
그림과 같은 회로에서 인가 전압에 의한 전류 i 에 대한출력 V0 의 전달 함수는?

① 1/ Cs
② Cs
③ 1/1+Cs
④ 1+Cs

(정답률: 28%)

문제 해설

이 회로는 RC 저항-커패시턴스 필터 회로로, 입력 전압에 대한 출력 전압의 전달 함수는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

V0/Vin = 1/(1 + jωRC)

여기서 j는 허수단위이며, ω는 각주파수입니다. 이를 복소수 형태에서 실수 형태로 변환하면 다음과 같습니다.

V0/Vin = 1/(1 + jωRC) × (1 - jωRC)/(1 - jωRC)

V0/Vin = (1 - jωRC)/(1 + ω^2R^2C^2)

따라서 출력 전압 V0는 입력 전압 Vin에 대해 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

V0 = Vin × (1 - jωRC)/(1 + ω^2R^2C^2)

여기서 ω = 2πf이므로, 전달 함수는 다음과 같습니다.

V0(f) = Vin(f) × (1 - j2πfRC)/(1 + (2πfRC)^2)

이를 전달 함수의 일반적인 형태인 V0(f) = H(f) × Vin(f)로 표현하면,

H(f) = (1 - j2πfRC)/(1 + (2πfRC)^2)

이 됩니다. 이때, 출력 전압 V0와 입력 전압 Vin의 비율인 H(f)를 전달 함수라고 합니다.

여기서 Cs는 C의 역수인 커패시턴스이므로, R과 Cs로 이루어진 RC 회로의 시간 상수는 RC가 아니라 R×Cs가 됩니다. 따라서 전달 함수 H(f)의 분모는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

1 + (2πfRC)^2 = 1 + (2πfR×Cs)^2

이를 정리하면,

H(f) = (1 - j2πfR×Cs)/(1 + (2πfR×Cs)^2)

따라서 전달 함수 H(f)의 절댓값은 다음과 같습니다.

|H(f)| = |(1 - j2πfR×Cs)/(1 + (2πfR×Cs)^2)|

이때, 절댓값의 최대값은 분모가 최소가 되는 경우에 나타납니다. 즉, 2πfR×Cs = 1일 때입니다. 이때, 전달 함수 H(f)의 절댓값은 다음과 같습니다.

|H(f)| = 1/(2πfR×Cs)

따라서 전달 함수 H(f)의 절댓값의 최대값은 1/(2πfR×Cs)이며, 이는 출력 전압 V0와 입력 전압 Vin의 비율인 H(f)의 최대값과 같습니다. 따라서 출력 전압 V0와 입력 전압 Vin의 비율인 H(f)의 최대값은 1/(2πfR×Cs)이므로, 전달 함수 H(f)의 최대값의 역수인 2πfR×Cs가 바로 RC 회로의 시간 상수가 됩니다. 따라서 전달 함수 H(f)의 최대값의 역수인 1/(2πfR×Cs)가 바로 정답인 "1/ Cs"입니다.

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