2012년08월26일 65번

[회로이론 및 제어공학]
다음 쌍곡선 함수의 라플라스 변환은?

(정답률: 59%)

문제 해설

주어진 쌍곡선 함수는 지수함수의 합과 차로 이루어져 있으므로, 라플라스 변환의 선형성을 이용하여 각각의 항을 따로 계산할 수 있다.

먼저 첫 번째 항인 e^(-as) / (s-a)를 계산해보자. 이는 라플라스 변환의 정의에 따라 다음과 같이 계산할 수 있다.

L{e^(-as) / (s-a)} = ∫[0,∞] e^(-st) e^(-as) / (s-a) ds
= ∫[0,∞] e^(-(a+s)t) / (s-a) ds
= ∫[0,∞] e^(-ut) / u du (단, u=a+s)
= -ln(u) e^(-ut) |[0,∞]
= -ln(a+s) e^(-as)

다음으로 두 번째 항인 e^(as) / (s+a)를 계산해보자. 이 역시 라플라스 변환의 정의에 따라 다음과 같이 계산할 수 있다.

L{e^(as) / (s+a)} = ∫[0,∞] e^(-st) e^(as) / (s+a) ds
= ∫[0,∞] e^(-(s-a)t) / (s+a) ds
= ∫[0,∞] e^(-ut) / u du (단, u=s-a)
= -ln(u) e^(-ut) |[0,∞]
= -ln(s-a) e^(as)

따라서 전체 함수의 라플라스 변환은 위 두 항의 합으로 표현할 수 있으며, 이를 정리하면 다음과 같다.

L{(e^(-as) - e^(as)) / (s-a)(s+a)} = (-ln(a+s) + ln(s-a)) / (2a)

이때, 보기에서 정답으로 제시된 "

"는 위 식의 우변과 같으므로 정답이다.

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