2004년03월07일 1번

[전기자기학]
자계분포 H =xy j -xz k [A/m]를 발생시키는 점(1,1,1)[m] 에서의 전류밀도는 몇 A/m² 인가?

① 2
② 3
③ √2
④ √3

(정답률: 53%)

문제 해설

전류밀도 J는 자계분포 H와 전기유도도 E의 곱으로 나타낼 수 있다. 따라서 전기유도도 E를 구하고, 이를 H와 곱하여 전류밀도 J를 구할 수 있다.

전기유도도 E는 로렌츠력의 비례상수인 자기유도계수 L과 자기장 H의 곱으로 나타낼 수 있다. 따라서 전기유도도 E를 구하려면 자기유도계수 L을 구해야 한다.

자기유도계수 L은 자기장 H를 발생시키는 전류 I가 1A일 때의 자기에너지 W를 전류 I로 미분한 값으로 나타낼 수 있다. 따라서 자기에너지 W를 구하고, 이를 전류 I로 미분하여 자기유도계수 L을 구할 수 있다.

자기에너지 W는 자기장 H의 크기와 부피적분을 통해 구할 수 있다. 따라서 자기장 H의 크기를 구하고, 이를 부피적분하여 자기에너지 W를 구할 수 있다.

자계분포 H =xy j -xz k [A/m]는 x, y, z 세 방향 모두에 대해 성분이 있는 벡터이므로, 자기장 H의 크기는 다음과 같이 구할 수 있다.

|H| = √(Hx^2 + Hy^2 + Hz^2)
= √(x^2y^2 + x^2z^2)
= x√(y^2 + z^2)

따라서 점 (1,1,1)에서의 자기장 H의 크기는 다음과 같다.

|H| = 1√(1^2 + 1^2)
= √2 [A/m]

자기에너지 W는 부피적분을 통해 구할 수 있다. 부피적분은 적분 구간 내에서 변수를 모두 적분하는 것으로, 이 경우에는 전체 공간을 적분해야 한다. 따라서 자기에너지 W는 다음과 같다.

W = ∫∫∫ H^2/2μ dV
= ∫∫∫ (x^2y^2 + x^2z^2)/2μ dV
= ∫0^1 ∫0^1 ∫0^1 (x^2y^2 + x^2z^2)/2μ dx dy dz
= 1/6μ

여기서 μ는 자기유도계수 L과 관련된 비례상수인 자기적률이다.

자기유도계수 L은 자기에너지 W를 전류 I로 미분한 값으로 나타낼 수 있다. 따라서 자기유도계수 L은 다음과 같다.

L = dW/dI
= 1/6μ

전기유도도 E는 자기유도계수 L과 자기장 H의 곱으로 나타낼 수 있다. 따라서 점 (1,1,1)에서의 전기유도도 E는 다음과 같다.

E = L|H|
= (1/6μ)√2 [V/m]

전류밀도 J는 자계분포 H와 전기유도도 E의 곱으로 나타낼 수 있다. 따라서 점 (1,1,1)에서의 전류밀도 J는 다음과 같다.

J = H×E/μ
= (xy j - xz k)×(Ez i + Ex k)/μ
= (xEx + zEz) j + (xEx - yEz) k/μ
= (√2/6) j + (-√2/6) k [A/m^2]

따라서 정답은 "√2"이다.

이전 문제

다음 문제