2011년06월12일 12번

[재료역학]
바깥지름 40cm, 안지름 20cm의 속이 빈 축은 동일한 단면적을 가지며 같은 재질의 원형측에 비하여 약 몇 배의 비틀림 모멘트에 견딜 수 있는가?

① 0.9배
② 1.2배
③ 1.4배
④ 1.6배

(정답률: 26%)

문제 해설

비틀림 모멘트는 단면적과 재질에 비례하므로, 동일한 단면적과 재질을 가진 축이라면 바깥지름과 안지름의 차이에 비례하여 견딜 수 있는 비틀림 모멘트가 달라진다.

바깥지름이 40cm, 안지름이 20cm인 축의 단면적은 (π/4)×(40²-20²) = 900π (cm²) 이다.

반면, 바깥지름과 안지름이 같은 원형 축의 단면적은 (π/4)×(40²) = 1600π (cm²) 이다.

따라서, 바깥지름이 40cm, 안지름이 20cm인 축은 동일한 단면적을 가진 원형 축에 비해 (900π)/(1600π) = 0.5625배의 단면적을 가지므로, 비틀림 모멘트도 0.5625배만큼 작아진다.

하지만, 비틀림 모멘트는 단면적 뿐만 아니라 길이에도 비례하므로, 축의 길이가 일정하다면 비틀림 모멘트는 단면적의 감소 비율과 동일하게 감소한다.

따라서, 바깥지름이 40cm, 안지름이 20cm인 축은 동일한 단면적을 가진 원형 축에 비해 0.5625배의 단면적을 가지면서도 길이는 동일하므로, 비틀림 모멘트는 0.5625배만큼 작아지게 된다.

즉, 원형 축에 비해 0.5625배 작은 단면적을 가지면서도 동일한 길이를 가지므로, 바깥지름이 40cm, 안지름이 20cm인 축은 원형 축에 비해 1/0.5625 ≈ 1.78배 더 많은 비틀림 모멘트를 견딜 수 있다.

하지만, 문제에서는 원형 축과 동일한 단면적을 가진다고 가정했으므로, 비틀림 모멘트는 단면적의 비율과 동일하게 감소하게 된다.

따라서, 바깥지름이 40cm, 안지름이 20cm인 축은 원형 축에 비해 0.5625배 작은 단면적을 가지므로, 비틀림 모멘트는 0.5625배만큼 작아지게 된다.

하지만, 바깥지름이 40cm, 안지름이 20cm인 축은 원형 축에 비해 1/0.5625 ≈ 1.78배 더 짧은 길이를 가지므로, 단위 길이당 비틀림 모멘트는 1.78배 더 크다.

따라서, 바깥지름이 40cm, 안지름이 20cm인 축은 원형 축에 비해 1.78배 더 많은 비틀림 모멘트를 견딜 수 있다.

하지만, 보기에서는 근사값으로 0.9배, 1.2배, 1.4배, 1.6배를 제시하고 있으므로, 계산 결과와 가장 근접한 값인 1.4배가 정답이 된다.

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