2018년04월28일 16번
[재료역학] 그림과 같이 A, B의 원형 단면봉은 길이가 같고, 지름이 다르며, 양단에서 같은 압축하중 P를 받고 있다. 응력은 각 단면에서 균일하게 분포된다고 할 때 저장되는 탄성 변형 에너지의 
는 얼마가 되겠는가?
는 얼마가 되겠는가?- ① 1/3
- ② 5/9
- ③ 2
- ④ 9/5
(정답률: 56%)
문제 해설
저장되는 탄성 변형 에너지는 변형된 응력과 변형된 변위의 곱으로 계산할 수 있다. 이 문제에서는 응력이 균일하게 분포되므로, 변형된 응력은 평균 응력과 같다. 평균 응력은 압축하중 P를 단면의 면적으로 나눈 값으로 계산할 수 있다.
A의 단면의 지름을 d1, B의 단면의 지름을 d2라고 하면, A의 면적은 πd1^2/4, B의 면적은 πd2^2/4이다. A와 B의 길이가 같으므로, 압축하중 P가 동일하다면 A와 B의 변형된 응력은 같다. 따라서 A와 B의 변형된 응력은 P/ (πd1^2/4) = P/ (πd2^2/4) 이다.
변형된 변위는 응력과 단면의 재질에 따라 달라지므로, A와 B의 변형된 변위는 다를 수 있다. 그러나 저장되는 탄성 변형 에너지는 변형된 응력과 변형된 변위의 곱으로 계산되므로, A와 B의 저장되는 탄성 변형 에너지는 P^2/ (4Eπd1^2) × L/2 와 P^2/ (4Eπd2^2) × L/2 로 각각 계산할 수 있다. 여기서 E는 단면의 재질의 탄성계수이다.
따라서 A와 B의 저장되는 탄성 변형 에너지의 비율은 (P^2/ (4Eπd1^2) × L/2) / (P^2/ (4Eπd2^2) × L/2) = d2^2/ d1^2 이다. 이 값은 B의 지름이 A의 지름보다 √(5/3) 배 크므로, B의 저장되는 탄성 변형 에너지는 A의 저장되는 탄성 변형 에너지보다 5/3 배 크다. 따라서 정답은 5/9이다.
A의 단면의 지름을 d1, B의 단면의 지름을 d2라고 하면, A의 면적은 πd1^2/4, B의 면적은 πd2^2/4이다. A와 B의 길이가 같으므로, 압축하중 P가 동일하다면 A와 B의 변형된 응력은 같다. 따라서 A와 B의 변형된 응력은 P/ (πd1^2/4) = P/ (πd2^2/4) 이다.
변형된 변위는 응력과 단면의 재질에 따라 달라지므로, A와 B의 변형된 변위는 다를 수 있다. 그러나 저장되는 탄성 변형 에너지는 변형된 응력과 변형된 변위의 곱으로 계산되므로, A와 B의 저장되는 탄성 변형 에너지는 P^2/ (4Eπd1^2) × L/2 와 P^2/ (4Eπd2^2) × L/2 로 각각 계산할 수 있다. 여기서 E는 단면의 재질의 탄성계수이다.
따라서 A와 B의 저장되는 탄성 변형 에너지의 비율은 (P^2/ (4Eπd1^2) × L/2) / (P^2/ (4Eπd2^2) × L/2) = d2^2/ d1^2 이다. 이 값은 B의 지름이 A의 지름보다 √(5/3) 배 크므로, B의 저장되는 탄성 변형 에너지는 A의 저장되는 탄성 변형 에너지보다 5/3 배 크다. 따라서 정답은 5/9이다.
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