2004년03월07일 68번

[회로이론 및 제어공학]
f(t)=e^-²^tcos3t의 라플라스 변환은?

(정답률: 62%)

문제 해설

f(t)=e^-²^tcos3t의 라플라스 변환은 F(s) = (s+2)/(s+2)²+9

이유: 라플라스 변환의 정의에 따라, F(s) = L{f(t)} = ∫₀^∞ e^-stf(t)dt 이다. 따라서,

F(s) = ∫₀^∞ e^-ste^-2tcos3tdt

= ∫₀^∞ e^-(s+2)tcos3tdt

이 식에서, cos3t는 미분하면 -3sin3t이 되므로, 부분적분을 이용하여 다음과 같이 계산할 수 있다.

F(s) = [e^-(s+2)t(-3sin3t)/((s+2)²+9)]₀^∞ + 3/(s+2)²+9 ∫₀^∞ e^-(s+2)tsin3tdt

여기서, 첫 번째 항은 0이 되므로 두 번째 항만 계산하면 된다. sin3t는 미분하면 3cos3t가 되므로, 다시 부분적분을 이용하여 다음과 같이 계산할 수 있다.

F(s) = [e^-(s+2)t(-3sin3t)/((s+2)²+9)]₀^∞ + [e^-(s+2)t(-9cos3t)/((s+2)²+9)₀^∞ + 27/(s+2)²+9 ∫₀^∞ e^-(s+2)tcos3tdt

여기서, 첫 번째 항과 두 번째 항은 모두 0이 되므로 세 번째 항만 계산하면 된다. 이 식은 처음에 주어진 f(t)와 같은 형태이므로, F(s) = 27/(s+2)²+9 이다.

이전 문제 다음 문제