2015년05월31일 67번
[기구학 및 CAD] 경계표현법(B-rep)으로 만들어진 단순다면체 솔리드 모델을 검증하기 위한 오일러 공식은? (단, F:면의 수, E:모서리의 수, V:꼭지점의 수)
- ① F-E+V=2
- ② F-E+2V=2
- ③ F-E+V=3
- ④ F-E+2V=3
(정답률: 알수없음)
문제 해설
정답은 "F-E+V=2"이다.
이 공식은 오일러-폴리아 정리(Euler-Polya theorem)에 기반하고 있다. 이 정리는 다면체의 특성에 대한 일반적인 공식으로, 모든 단순다면체 솔리드 모델에 적용될 수 있다.
이 공식은 다음과 같이 설명할 수 있다:
- 모든 다면체는 꼭지점, 모서리, 면으로 이루어져 있다.
- 꼭지점은 모서리와 면이 만나는 지점이다.
- 모서리는 두 개의 꼭지점을 연결하는 선분이다.
- 면은 세 개 이상의 모서리로 둘러싸인 평면이다.
따라서, 다면체의 꼭지점, 모서리, 면의 수를 각각 V, E, F로 표현할 수 있다.
이 때, 모든 면은 적어도 세 개의 모서리를 가지므로, 모서리의 수는 면의 수보다 적어도 3배 이상이다. 즉, E ≥ 3F/2이다.
또한, 모든 모서리는 두 개의 꼭지점을 연결하므로, 꼭지점의 수는 모서리의 수보다 2개 적다. 즉, V = E - 2이다.
이를 이용하여 오일러 공식을 유도할 수 있다:
F - E + V = F - E + (E - 2) = F - 2 = 2 (모든 다면체는 최소한 하나의 면을 가지므로, F ≥ 1이다.)
따라서, 모든 단순다면체 솔리드 모델은 F-E+V=2를 만족해야 한다.
이 공식은 오일러-폴리아 정리(Euler-Polya theorem)에 기반하고 있다. 이 정리는 다면체의 특성에 대한 일반적인 공식으로, 모든 단순다면체 솔리드 모델에 적용될 수 있다.
이 공식은 다음과 같이 설명할 수 있다:
- 모든 다면체는 꼭지점, 모서리, 면으로 이루어져 있다.
- 꼭지점은 모서리와 면이 만나는 지점이다.
- 모서리는 두 개의 꼭지점을 연결하는 선분이다.
- 면은 세 개 이상의 모서리로 둘러싸인 평면이다.
따라서, 다면체의 꼭지점, 모서리, 면의 수를 각각 V, E, F로 표현할 수 있다.
이 때, 모든 면은 적어도 세 개의 모서리를 가지므로, 모서리의 수는 면의 수보다 적어도 3배 이상이다. 즉, E ≥ 3F/2이다.
또한, 모든 모서리는 두 개의 꼭지점을 연결하므로, 꼭지점의 수는 모서리의 수보다 2개 적다. 즉, V = E - 2이다.
이를 이용하여 오일러 공식을 유도할 수 있다:
F - E + V = F - E + (E - 2) = F - 2 = 2 (모든 다면체는 최소한 하나의 면을 가지므로, F ≥ 1이다.)
따라서, 모든 단순다면체 솔리드 모델은 F-E+V=2를 만족해야 한다.
