2011년03월20일 14번

[전기자기학]
정전용량이 1[μF]인 공기 콘덴서가 있다. 이 콘덴서 판간의 1/2 인 두께를 갖고 비유전율 ε₂=2인 유전체를 그 콘덴서의 한 전극면에 접촉하여 넣었을 때 전체의 정전용량은 몇 [μF]인가?

① 2
② 1/2
③ 4/3
④ 5/3

(정답률: 75%)

문제 해설

공기 콘덴서의 정전용량은 C₁ = 1[μF]이다. 유전체를 넣기 전과 후의 전기장을 각각 E₁, E₂라고 하면, 유전체가 없을 때와 유전체가 있을 때의 전기장은 각각 E₀ = V/d, E₁ = V/(d/2), E₂ = V/(3d/4) 이다. (V: 전압, d: 콘덴서 판간의 거리)

따라서 유전체를 넣기 전의 전하 밀도는 σ₀ = ε₀E₀ = ε₀V/d 이고, 유전체를 넣은 후의 전하 밀도는 σ₁ = ε₀E₁ + ε₂E₂ = ε₀V/(d/2) + ε₂V/(3d/4) 이다.

따라서 유전체를 넣기 전과 후의 전하량은 각각 Q₀ = C₁V = 1V μF, Q₁ = σ₁A = (ε₀V/(d/2) + ε₂V/(3d/4))A 이다. (A: 콘덴서의 전극면적)

전하 보존 법칙에 의해 Q₀ = Q₁ 이므로, ε₀V/(d/2) + ε₂V/(3d/4) = 1V μF 이다. 이를 정리하면 V/d = 4ε₂/(3ε₀ + 4ε₂) 이고, 이를 이용하여 전체의 정전용량 C는 C = Q/V = Q/(Ed) = σA/(Ed) = (ε₀E₀ + ε₂E₂)A/(Ed) = (ε₀ + ε₂)/2ε₀ × C₁ = (1 + 2)/2 × 1[μF] = 3/2[μF] 이다.

따라서 정답은 "4/3"이 아니라 "3/2"이다.

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