2014년03월02일 11번
[전기자기학] 전속밀도가 D=e-2y(axsin2x+aycos2x)[C/m2] 일 때 전속의 단위 체적당 발산량[C/m3]은?
- ① 2e-2ycos2x
- ② 4e-2ycos2x
- ③ 0
- ④ 2e-2y(sin2x+cos2x)
(정답률: 62%)
문제 해설
전속의 발산량은 전속의 발산밀도(divergence density)를 체적분한 값으로 구할 수 있다. 따라서 전속의 발산밀도를 먼저 구해보자.
전속의 x축 방향 발산밀도는 다음과 같다.
∂(Daxsin2x)/∂x + ∂(Dcos2x)/∂y
= Daxcos2x - 2Dcos2x
= e^(-2y)(a_xcos2x - 2acos2x)
전속의 y축 방향 발산밀도는 다음과 같다.
∂(Daxsin2x)/∂y - ∂(Dcos2x)/∂x
= Daxsin2x + 2Dsin2x
= e^(-2y)(a_xsin2x + 2asin2x)
따라서 전속의 단위 체적당 발산량은 다음과 같다.
∫∫∫ (e^(-2y)(a_xcos2x - 2acos2x) + e^(-2y)(a_xsin2x + 2asin2x)) dV
= ∫∫ (a_xcos2x - 2acos2x + a_xsin2x + 2asin2x) e^(-2y) dxdy
= 0
위의 식에서 x와 y에 대한 부분은 주기함수이므로 적분 결과는 주기적으로 반복된다. 따라서 적분 결과는 주기적으로 양수와 음수가 번갈아 나타나며, 전체적으로 적분 결과는 0이 된다. 따라서 정답은 "0"이다.
전속의 x축 방향 발산밀도는 다음과 같다.
∂(Daxsin2x)/∂x + ∂(Dcos2x)/∂y
= Daxcos2x - 2Dcos2x
= e^(-2y)(a_xcos2x - 2acos2x)
전속의 y축 방향 발산밀도는 다음과 같다.
∂(Daxsin2x)/∂y - ∂(Dcos2x)/∂x
= Daxsin2x + 2Dsin2x
= e^(-2y)(a_xsin2x + 2asin2x)
따라서 전속의 단위 체적당 발산량은 다음과 같다.
∫∫∫ (e^(-2y)(a_xcos2x - 2acos2x) + e^(-2y)(a_xsin2x + 2asin2x)) dV
= ∫∫ (a_xcos2x - 2acos2x + a_xsin2x + 2asin2x) e^(-2y) dxdy
= 0
위의 식에서 x와 y에 대한 부분은 주기함수이므로 적분 결과는 주기적으로 반복된다. 따라서 적분 결과는 주기적으로 양수와 음수가 번갈아 나타나며, 전체적으로 적분 결과는 0이 된다. 따라서 정답은 "0"이다.
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