2015년03월08일 11번

[전기자기학]
진공 중에 있는 반지름 a[m]인 도체구의 정전용량 [F]은?

① 4πε0a
② 2πε0a
③ 8πε0a
④ a

(정답률: 76%)

문제 해설

도체구가 진공 중에 있으므로 주변에는 전하가 없으며, 이는 도체구의 전하와 상호작용하지 않는다는 것을 의미한다. 따라서 도체구의 전하와 전기장은 도체구 내부에서만 존재하며, 이는 도체구의 정전용량과 관련이 있다.

정전용량은 도체구 내부의 전하와 전기장 간의 비례 관계에 의해 결정된다. 도체구 내부의 전기장은 도체구 중심에서 반지름이 r인 구의 전하에 의해 생성된다. 이 때, 반지름이 a인 도체구 내부의 전기장은 a보다 작은 반지름의 구 내부의 전하에 의해 생성된 전기장과 동일하다.

따라서 반지름이 r인 구 내부의 전하 Q는 4πr^2ε0E에 비례하며, 전기장 E는 Q에 비례하므로, Q는 r에 비례한다. 이를 수식으로 나타내면 Q = k*r가 된다. 여기서 k는 비례상수이다.

반지름이 a인 도체구 내부의 전하 Q는 Q = k*a이므로, 도체구의 정전용량 C는 C = Q/V = Q/(4/3*πa^3) = 3k/(4πa^2)가 된다. 여기서 V는 도체구의 부피이다.

k는 비례상수이므로, C는 a에 비례한다. 따라서 C = 4πε0a가 된다. (ε0는 자유공간의 전기유전율)

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