2020년09월26일 80번

[회로이론 및 제어공학]
f(t)=tⁿ의 라플라스 변환 식은?

① n/sn
② n+1/sn+1
③ n!/sn+1
④ n+1/sn!

(정답률: 65%)

문제 해설

f(t) = t^n의 라플라스 변환식은 L{t^n} = n!/s^(n+1)이다.

이유는 라플라스 변환의 정의에 따라서, L{t^n} = ∫[0,∞) e^(-st) t^n dt 이다. 이를 부분적분하면,

L{t^n} = [-t^n e^(-st)/s]_0^∞ + n/s ∫[0,∞) e^(-st) t^(n-1) dt

무한대에서 t^n e^(-st)는 s가 양수일 때 0으로 수렴하므로, 첫 번째 항은 0이 된다. 따라서,

L{t^n} = n/s ∫[0,∞) e^(-st) t^(n-1) dt

여기서 t^(n-1)을 다시 부분적분하면,

L{t^n} = n/s [-t^(n-1) e^(-st)/s]_0^∞ + n(n-1)/s^2 ∫[0,∞) e^(-st) t^(n-2) dt

무한대에서 t^(n-1) e^(-st)는 s가 양수일 때 0으로 수렴하므로, 첫 번째 항은 0이 된다. 따라서,

L{t^n} = n(n-1)/s^2 ∫[0,∞) e^(-st) t^(n-2) dt

이와 같은 방식으로 계속 부분적분을 하면, 마지막에는

L{t^n} = n!/s^(n+1) ∫[0,∞) e^(-st) dt

∫[0,∞) e^(-st) dt는 라플라스 변환의 정의에 따라서 1/s이므로,

L{t^n} = n!/s^(n+1) * 1/s = n!/s^(n+1)

따라서, f(t) = t^n의 라플라스 변환식은 n!/s^(n+1)이다.

이전 문제 다음 문제