2017년08월26일 25번
[인간공학 및 시스템안전공학] 기계의 고장율이 일정한 지수분포를 가지며, 고장율이 0.04/시간 일 때, 이 기계가 10시간 동안 고장이 나지 않고 작동할 확률은 약 얼마인가?
- ① 0.40
- ② 0.67
- ③ 0.84
- ④ 0.96
(정답률: 44%)
문제 해설
정답은 **(2)**번 **0.67**입니다.
지수분포의 확률밀도함수는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
```
f(t) = λe^(-λt)
```
여기서, λ는 고장율입니다.
따라서, 이 기계가 10시간 동안 고장이 나지 않고 작동할 확률은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.
```
P(T > 10) = 1 - P(T <= 10)
```
```
= 1 - ∫_0^10 f(t) dt
```
```
= 1 - ∫_0^10 λe^(-λt) dt
```
```
= 1 - λ(e^(-λt))/(-λ)
```
```
= 1 + e^(-λt)
```
```
= 1 + e^(-0.04 * 10)
```
```
≈ 0.67
```
따라서, 정답은 **(2)**번 **0.67**입니다.
참고로, 지수분포의 평균과 분산은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
```
μ = 1/λ
```
```
σ^2 = 1/λ^2
```
이 문제에서 λ = 0.04/시간 이므로, 평균 = 1/λ = 25시간, 분산 = 1/λ^2 = 625시간^2입니다. 따라서, 이 기계가 10시간 동안 고장이 나지 않고 작동할 확률은 약 67%입니다.
지수분포의 확률밀도함수는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
```
f(t) = λe^(-λt)
```
여기서, λ는 고장율입니다.
따라서, 이 기계가 10시간 동안 고장이 나지 않고 작동할 확률은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.
```
P(T > 10) = 1 - P(T <= 10)
```
```
= 1 - ∫_0^10 f(t) dt
```
```
= 1 - ∫_0^10 λe^(-λt) dt
```
```
= 1 - λ(e^(-λt))/(-λ)
```
```
= 1 + e^(-λt)
```
```
= 1 + e^(-0.04 * 10)
```
```
≈ 0.67
```
따라서, 정답은 **(2)**번 **0.67**입니다.
참고로, 지수분포의 평균과 분산은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
```
μ = 1/λ
```
```
σ^2 = 1/λ^2
```
이 문제에서 λ = 0.04/시간 이므로, 평균 = 1/λ = 25시간, 분산 = 1/λ^2 = 625시간^2입니다. 따라서, 이 기계가 10시간 동안 고장이 나지 않고 작동할 확률은 약 67%입니다.
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