2009년07월26일 77번

[회로이론 및 제어공학]
각 상전압이 Va=40sinωt[V], Vb=40sin(ωt＋90º)[V], Vc=40sin(ωt-90º)[V]일 때 실효치는 약 몇 [V]인가?(오류 신고가 접수된 문제입니다. 반드시 정답과 해설을 확인하시기 바랍니다.)

① 40 sinωt
② 40/3 sinωt
③ 40/3 sin(ωt-90º)
④ 4-/3 sin(ωt＋90º)

(정답률: 48%)

문제 해설

각 상전압의 효과적 합은 다음과 같다.

V = √(Va² + Vb² + Vc² + 2VaVbcos(120º) + 2VbVccos(120º) + 2VcVacos(120º))

= √(40² + 40² + 40² + 2×40×40×cos(120º) + 2×40×40×cos(120º) + 2×40×40×cos(120º))

= √(12000)

= 40√3 [V]

따라서 실효값은 V/√2 = 40√3/√2 = 40/√2 × √3 = 40/3√3 [V] 이다.

하지만 보기에서는 sinωt 형태로 답을 요구하고 있으므로, 다음과 같이 변형할 수 있다.

40/3√3 × √3/√3 = 40/3 sin(π/3) = 40/3 sin(ωt + 60º)

sin(ωt + 60º) = sin(ωt - 90º + 150º) = sin(ωt - 90º)cos150º + cos(ωt - 90º)sin150º

= -cos(ωt - 90º)√3/2 + sin(ωt - 90º)1/2

= -√3/2 sin(ωt - 90º) + 1/2 cos(ωt - 90º)

= 2/√3 (-√3/2 sin(ωt - 90º) + 1/2 cos(ωt - 90º))

= 2/√3 sin(ωt - 30º)

따라서 실효값은 40/3 sinωt - 30º 이다.

하지만 보기에서는 sin(ωt - 90º) 형태로 답을 요구하고 있으므로, 다음과 같이 변형할 수 있다.

sin(ωt - 30º) = sin(ωt - 90º + 60º) = sin(ωt - 90º)cos60º + cos(ωt - 90º)sin60º

= √3/2 sin(ωt - 90º) + 1/2 cos(ωt - 90º)

따라서 실효값은 40/3 sin(ωt - 90º) 이다.

따라서 정답은 "40/3 sin(ωt - 90º)" 이다.

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