2010년03월07일 9번
[전기자기학] 자유공간 중에서 점 P(2, -4, 5)가 도체면상에 있으며, 이 점에서 전계 E=3ax-6ay＋2az[V/m]이다. 도체면에 법선성분 En및 접선성분 Et의 크기는 몇 [V/m]인가?
- ① En=3, Et=-6
- ② En=7, Et=0
- ③ En=2, Et=3
- ④ En=-6, Et=0
(정답률: 61%)
문제 해설
도체면상에서 전계 E는 도체면의 법선 방향과 수직이어야 하므로, 점 P에서의 법선 벡터 n을 구해야 한다. 도체면상에서 점 P를 지나는 법선 벡터는 다음과 같다.
n = grad V = (dV/dx, dV/dy, dV/dz)
여기서 V는 도체면상의 전위이다. 점 P에서의 전위를 구하기 위해서는 점 P에서 도체면까지의 거리를 구해야 한다. 도체면이 주어지지 않았으므로, 이 문제에서는 도체면이 무한히 크다고 가정하자. 이 경우, 점 P에서 도체면까지의 거리는 항상 일정하므로, 점 P에서의 전위는 상수이다. 따라서, 점 P에서의 전위는 V = 0으로 가정할 수 있다.
이제, 점 P에서의 법선 벡터 n을 구해보자. 점 P에서의 전위가 상수이므로, 도체면상의 전위 V는 다음과 같이 표현할 수 있다.
V(x, y, z) = C
여기서 C는 상수이다. 따라서, 도체면상의 전기장 E는 다음과 같이 표현할 수 있다.
E = -grad V = -(dV/dx, dV/dy, dV/dz) = (0, 0, 0)
즉, 도체면상의 전기장은 0이다. 따라서, 점 P에서의 전기장 E는 도체면과 수직이어야 하므로, 점 P에서의 법선 벡터 n은 E와 같다.
n = (3, -6, 2)
이제, 점 P에서의 법선성분 En과 접선성분 Et의 크기를 구해보자. En은 n과 E의 내적이므로,
En = n·E = 3(2) - 6(-4) + 2(5) = 7 [V/m]
Et는 E와 n에 수직인 벡터이므로, Et = E - En·n/|n|^2 이다. 여기서 |n|은 벡터 n의 크기이다.
|n| = sqrt(3^2 + (-6)^2 + 2^2) = 7
따라서,
Et = E - En·n/|n|^2 = (3, -6, 2) - 7(7/49, -42/49, 14/49) = (0, 0, 0)
즉, Et의 크기는 0이다. 따라서, 정답은 "En=7, Et=0"이다.
n = grad V = (dV/dx, dV/dy, dV/dz)
여기서 V는 도체면상의 전위이다. 점 P에서의 전위를 구하기 위해서는 점 P에서 도체면까지의 거리를 구해야 한다. 도체면이 주어지지 않았으므로, 이 문제에서는 도체면이 무한히 크다고 가정하자. 이 경우, 점 P에서 도체면까지의 거리는 항상 일정하므로, 점 P에서의 전위는 상수이다. 따라서, 점 P에서의 전위는 V = 0으로 가정할 수 있다.
이제, 점 P에서의 법선 벡터 n을 구해보자. 점 P에서의 전위가 상수이므로, 도체면상의 전위 V는 다음과 같이 표현할 수 있다.
V(x, y, z) = C
여기서 C는 상수이다. 따라서, 도체면상의 전기장 E는 다음과 같이 표현할 수 있다.
E = -grad V = -(dV/dx, dV/dy, dV/dz) = (0, 0, 0)
즉, 도체면상의 전기장은 0이다. 따라서, 점 P에서의 전기장 E는 도체면과 수직이어야 하므로, 점 P에서의 법선 벡터 n은 E와 같다.
n = (3, -6, 2)
이제, 점 P에서의 법선성분 En과 접선성분 Et의 크기를 구해보자. En은 n과 E의 내적이므로,
En = n·E = 3(2) - 6(-4) + 2(5) = 7 [V/m]
Et는 E와 n에 수직인 벡터이므로, Et = E - En·n/|n|^2 이다. 여기서 |n|은 벡터 n의 크기이다.
|n| = sqrt(3^2 + (-6)^2 + 2^2) = 7
따라서,
Et = E - En·n/|n|^2 = (3, -6, 2) - 7(7/49, -42/49, 14/49) = (0, 0, 0)
즉, Et의 크기는 0이다. 따라서, 정답은 "En=7, Et=0"이다.
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