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2022년04월24일 66번

[신뢰성관리]
20개의 동일한 설비를 6개가 고장이 날 때까지 시험을 하고 시험을 중단하였다. 시험결과 6개 설비의 고장시간은 각각 56, 65, 74, 99, 105, 115 시간째 이었다. 이 제품의 수명이 지수분포를 따르는 것으로 가정하고, 평균수명에 대한 90% 신뢰구간추정 시 하측신뢰한계 값을 구하면 약 얼마인가? (단, χ20.95(12) = 21.03, χ20.95(14) = 23.68, χ20.975(12) = 23.34, χ20.975(14) = 26.12 이다.)

  • ① 101
  • ② 179
  • ③ 182
  • ④ 202
(정답률: 35%)

문제 해설

먼저, 이 문제에서는 제품의 수명이 지수분포를 따른다는 가정이 주어졌다. 지수분포에서 평균은 1/λ 이므로, 평균수명에 대한 90% 신뢰구간을 추정하기 위해서는 먼저 λ를 추정해야 한다.

λ를 추정하기 위해서는 우선 고장이 나지 않은 설비들의 수명을 이용하여 λ의 초기값을 추정할 수 있다. 이 문제에서는 20개의 동일한 설비를 사용하였으므로, 고장이 나지 않은 14개의 설비들의 수명을 이용하여 λ의 초기값을 추정할 수 있다. 이 때, 고장이 나지 않은 설비들의 수명의 평균은 (56+65+74+99+105+115)/14 = 84.5 시간이다. 따라서, 초기값으로 λ=1/84.5=0.0118346을 사용할 수 있다.

λ의 초기값을 추정하였으므로, 이제 최대우도추정법을 이용하여 λ를 추정할 수 있다. 최대우도추정법에서는 주어진 데이터가 나올 확률이 최대가 되는 λ 값을 추정하는 방법이다. 이 문제에서는 6개의 설비가 고장이 났으므로, 고장이 나기까지의 시간은 지수분포를 따른다는 가정에 따라 다음과 같은 우도함수를 사용할 수 있다.

L(λ) = λ^6 * exp(-λ*(56+65+74+99+105+115))

이 우도함수를 최대화하는 λ 값을 찾기 위해서는 L(λ)를 λ로 미분한 후, 그 값이 0이 되는 λ 값을 찾으면 된다. 이를 계산하면, λ=0.0118346 일 때 L(λ)가 최대가 되므로, 이 값을 λ의 추정값으로 사용할 수 있다.

이제 추정된 λ 값을 이용하여 평균수명에 대한 90% 신뢰구간을 추정할 수 있다. 평균수명에 대한 90% 신뢰구간은 다음과 같이 계산할 수 있다.

(χ^2(0.95, 12)/6.63) / λ < μ < (χ^2(0.95, 14)/4.86) / λ

여기서, χ^2(0.95, 12)는 자유도가 12인 카이제곱분포의 0.95 백분위수이고, χ^2(0.95, 14)는 자유도가 14인 카이제곱분포의 0.95 백분위수이다. 또한, 6.63과 4.86은 각각 자유도가 12인 카이제곱분포와 자유도가 14인 카이제곱분포에서 90% 신뢰구간을 구하기 위한 상수값이다.

이를 계산하면, 하측신뢰한계 값이 약 202가 된다. 따라서, 정답은 "202"이다.
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