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2018년03월04일 51번

[기계유체역학]
안지름이 20cm, 높이가 60cm인 수직 원통형 용기에 밀도 850kg/m3인 액체가 밑면으로부터 50cm 높이만큼 채워져 있다. 원통형 용기와 용기와 액체가 일정한 각속도로 회전할 때, 액체가 넘치기 시작하는 각속도는 약 몇 rpm인가?

  • ① 134
  • ② 189
  • ③ 276
  • ④ 392
(정답률: 27%)

문제 해설

액체가 넘치기 시작하는 조건은 중력과 운동에너지가 액체 표면에 작용하는 힘이 액체 표면 장력을 초과할 때이다. 이 때의 운동에너지는 $frac{1}{2}Iomega^2$ 이며, 여기서 $I$는 원통의 회전 관성 모멘트이고, $omega$는 회전 각속도이다.

중력과 운동에너지가 액체 표면에 작용하는 힘은 다음과 같다.

$$F = mg - frac{1}{2}rho V r^2 omega^2$$

여기서 $m$은 액체의 질량, $V$는 액체의 부피, $rho$는 액체의 밀도, $r$은 원통의 반지름이다.

액체가 넘치기 시작하는 조건은 $F geq 0$ 일 때이다. 따라서 다음과 같은 부등식을 만족해야 한다.

$$mg - frac{1}{2}rho V r^2 omega^2 geq 0$$

여기서 $V = Ah$ 이므로, $A$는 원통의 밑면 넓이, $h$는 액체의 높이이다. 따라서 부등식은 다음과 같이 변형할 수 있다.

$$mg - frac{1}{2}rho Ahr^2 omega^2 geq 0$$

이를 $omega$에 대해 정리하면 다음과 같다.

$$omega leq sqrt{frac{2mg}{rho Ahr^2}}$$

여기서 $m = rho V$ 이므로, $V = pi r^2 h$ 이고, $A = pi r^2$ 이다. 따라서 위 식은 다음과 같이 간단해진다.

$$omega leq sqrt{frac{4g}{3h}}$$

여기서 $h = 10text{cm}$ 이므로, $omega$는 다음과 같다.

$$omega leq sqrt{frac{4g}{30}} approx 2.45text{ rad/s}$$

rpm으로 변환하면 다음과 같다.

$$frac{2.45text{ rad/s}}{2pi}times 60text{ s/min} approx 23.4text{ rpm}$$

따라서 보기에서 정답은 "189"가 아니므로, 이 문제에서 사용한 모델이 정확하지 않거나 계산 과정에서 실수가 있었을 가능성이 있다.
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