전기기사

연도별 풀이 오답노트 별표문제

2009년03월01일 3번

[전기자기학]
그림과 같은 반지름 ρ[m]인 원형 영역에 걸쳐 균등 자속밀도가 B₀az[T]로 측정 되었다면 그 원형 영역내의 벡터 포텐셜 A[Wb/m]는 얼마인가?

①
②
③
④

(정답률: 30%)

문제 해설

원형 영역 내의 벡터 포텐셜 A는 다음과 같이 구할 수 있다.

A = (μ₀/4π) ∫_V J(r')/|r-r'| dτ'

여기서 J(r')은 자속밀도이고, V은 원형 영역의 부피, r은 측정 지점의 위치 벡터이다.

원형 영역 내의 자속밀도는 균등하므로 J(r') = B₀az이다. 또한, 측정 지점의 위치 벡터 r은 원형 영역의 중심에서부터의 거리인데, 중심에서부터의 거리가 반지름 ρ이므로 r = ρaz이다.

따라서, 벡터 포텐셜 A는 다음과 같이 계산할 수 있다.

A = (μ₀/4π) ∫_V B₀az/|ρaz-r'| dτ'
= (μ₀/4π) B₀az ∫_V 1/|ρaz-r'| dτ'

이제 적분을 계산해보자. 원형 영역 내의 모든 점은 중심에서부터의 거리가 ρ이므로, 적분은 다음과 같이 계산할 수 있다.

∫_V 1/|ρaz-r'| dτ' = ∫₀^2π ∫₀^ρ ∫₀^2π 1/|ρaz-r'| r'dθ'dr'dφ'
= 2π ∫₀^ρ 1/|ρaz-r'| r'dr'
= 2π [ln|ρaz-r'|]₀^ρ
= 2π ln|ρ|

따라서, 벡터 포텐셜 A는 다음과 같다.

A = (μ₀/4π) B₀az (2π ln|ρ|)
= (μ₀/2) B₀az ln|ρ|

따라서, 정답은 "

"이다.

이유는 원형 영역 내의 자속밀도가 균등하므로, 벡터 포텐셜 A도 원형 대칭성을 가지며, 중심에서 멀어질수록 로그함수의 값이 증가하기 때문이다.

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