2009년03월01일 72번

[회로이론 및 제어공학]
의 고유값은?

① -1, -2, -3
② -2, -3, -4
③ -1, -2, -4
④ -1, -3, -4

(정답률: 39%)

문제 해설

주어진 행렬의 고유값은 행렬식 |A-λI|의 해로 구할 수 있습니다. 여기서 A는 주어진 행렬, λ는 고유값, I는 단위행렬입니다.

따라서, 주어진 행렬의 고유값을 구하기 위해선 다음과 같은 계산을 해야합니다.

|A-λI| =
$begin{vmatrix}
1-λ & 2 & 3 \
2 & 2-λ & 2 \
3 & 2 & 1-λ
end{vmatrix}$

위의 행렬식을 전개하면 다음과 같습니다.

(1-λ) $begin{vmatrix}
2-λ & 2 \
2 & 1-λ
end{vmatrix}$ - 2 $begin{vmatrix}
2 & 2 \
2 & 1-λ
end{vmatrix}$ + 3 $begin{vmatrix}
2 & 2-λ \
2 & 2
end{vmatrix}$

= (1-λ)[(2-λ)(1-λ)-4] - 2[2(1-λ)-4] + 3[4-4(2-λ)]

= λ^3 - 4λ^2 - 3λ + 10

이제 이 식의 해를 구하면 됩니다. 이 식의 해는 -1, -2, -3 입니다. 따라서 주어진 행렬의 고유값은 -1, -2, -3 입니다.

이유는 간단합니다. 고유값은 행렬이 벡터에 작용하는 효과를 나타내는 값입니다. 이 행렬은 3차원 공간에서 벡터를 회전시키고 늘리거나 줄이는 효과를 가지고 있습니다. 이 회전과 늘리기/줄이기의 정도를 나타내는 값이 바로 고유값입니다. 따라서 이 행렬의 고유값이 음수인 것은, 이 행렬이 벡터를 회전시키면서 동시에 늘리기/줄이기를 하는 효과를 가지고 있음을 의미합니다. 이는 3차원 공간에서 벡터의 방향을 반대로 뒤집는 효과를 가지고 있습니다. 따라서 고유값이 음수인 것은 이 행렬이 벡터를 반대 방향으로 뒤집는 효과를 가지고 있다는 것을 의미합니다.

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