2007년03월04일 12번
[재료역학] 그림과 같은 직사각형 단면을 갖는 단순지지보에 3 kN/m의 균일 분포하중과 축방향으로 50 kN의 인장력이 작용할 때 최대 및 최소 응력은?
- ① 4 MPa 인장, 3.33 MPa 압축
- ② 4 MPa 압축, 3.33 MPa 인장
- ③ 7.33 MPa 인장, 0.67 MPa 압축
- ④ 7.33 MPa 압축, 0.67 MPa 인장
(정답률: 32%)
문제 해설
최대 응력은 인장력이 작용하는 면에서 발생하며, 최소 응력은 압축력이 작용하는 면에서 발생한다. 따라서 이 문제에서는 인장력이 작용하는 면에서 최대 응력을 구하고, 압축력이 작용하는 면에서 최소 응력을 구하면 된다.
최대 응력은 균일 분포하중과 인장력이 모두 작용하는 면에서 발생한다. 이 경우 최대 응력은 다음과 같이 구할 수 있다.
$$sigma_{max} = frac{M}{I}z_{max} + frac{q}{2}$$
여기서 $M$은 인장력이 작용하는 모멘트, $I$는 단면의 관성 모멘트, $z_{max}$는 최대 응력이 발생하는 면의 중립축까지의 거리, $q$는 균일 분포하중을 나타낸다. 이 문제에서는 단면이 직사각형이므로 관성 모멘트는 $bh^3/12$이다. 또한 인장력이 작용하는 면에서 최대 응력이 발생하므로 $z_{max} = h/2$이다. 따라서 최대 응력은 다음과 같다.
$$sigma_{max} = frac{50times10^3}{bh^2/6}timesfrac{h}{2} + frac{3times10^3}{2} = frac{75}{bh} + 1500$$
최소 응력은 압축력이 작용하는 면에서 발생한다. 이 경우 최소 응력은 다음과 같이 구할 수 있다.
$$sigma_{min} = frac{M}{I}z_{min} - frac{q}{2}$$
여기서 $z_{min}$은 압축력이 작용하는 면의 중립축까지의 거리이다. 이 문제에서는 단면이 직사각형이므로 $z_{min} = h/2$이다. 따라서 최소 응력은 다음과 같다.
$$sigma_{min} = frac{50times10^3}{bh^2/6}timesfrac{h}{2} - frac{3times10^3}{2} = frac{75}{bh} - 1500$$
따라서 최대 응력은 7.33 MPa 인장, 최소 응력은 0.67 MPa 압축이다.
최대 응력은 균일 분포하중과 인장력이 모두 작용하는 면에서 발생한다. 이 경우 최대 응력은 다음과 같이 구할 수 있다.
$$sigma_{max} = frac{M}{I}z_{max} + frac{q}{2}$$
여기서 $M$은 인장력이 작용하는 모멘트, $I$는 단면의 관성 모멘트, $z_{max}$는 최대 응력이 발생하는 면의 중립축까지의 거리, $q$는 균일 분포하중을 나타낸다. 이 문제에서는 단면이 직사각형이므로 관성 모멘트는 $bh^3/12$이다. 또한 인장력이 작용하는 면에서 최대 응력이 발생하므로 $z_{max} = h/2$이다. 따라서 최대 응력은 다음과 같다.
$$sigma_{max} = frac{50times10^3}{bh^2/6}timesfrac{h}{2} + frac{3times10^3}{2} = frac{75}{bh} + 1500$$
최소 응력은 압축력이 작용하는 면에서 발생한다. 이 경우 최소 응력은 다음과 같이 구할 수 있다.
$$sigma_{min} = frac{M}{I}z_{min} - frac{q}{2}$$
여기서 $z_{min}$은 압축력이 작용하는 면의 중립축까지의 거리이다. 이 문제에서는 단면이 직사각형이므로 $z_{min} = h/2$이다. 따라서 최소 응력은 다음과 같다.
$$sigma_{min} = frac{50times10^3}{bh^2/6}timesfrac{h}{2} - frac{3times10^3}{2} = frac{75}{bh} - 1500$$
따라서 최대 응력은 7.33 MPa 인장, 최소 응력은 0.67 MPa 압축이다.
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