2008년05월11일 18번

[전기자기학]
전위함수 V=5x²y＋z[V]일 때 점(2, -2, 2)에서 체적 전하밀도 ρ[C/m³]의 값은? (단, ɛ₀는 자유공간의 유전율이다.)

① 5ɛ0
② 10ɛ0
③ 20ɛ0
④ 25ɛ0

(정답률: 54%)

문제 해설

전하밀도 ρ는 체적 전하밀도로 나타낼 수 있으며, 다음과 같이 정의된다.

ρ = dQ/dV

여기서 dQ는 작은 부피 요소 dV 내에 포함된 전하이며, V는 해당 부피 요소의 체적이다. 따라서 우리는 점 (2, -2, 2)에서의 체적을 계산해야 한다.

체적은 dx, dy, dz의 작은 변화량을 곱한 것으로 나타낼 수 있다. 따라서 점 (2, -2, 2)에서의 체적은 다음과 같다.

dV = dx dy dz = (dx/dt) (dy/dt) (dz/dt) dt = (2x) (-2y) (1) dt = -4x^2 dt

여기서 dt는 작은 시간 요소이다. 따라서 점 (2, -2, 2)에서의 체적은 다음과 같다.

V = ∫∫∫ dV = ∫∫∫ -4x^2 dt = -4 ∫∫∫ x^2 dt

이제 우리는 전위함수 V를 사용하여 x에 대한 식으로 변환할 수 있다.

V = 5x^2 y + z
z = V - 5x^2 y

따라서 체적 전하밀도는 다음과 같다.

ρ = dQ/dV = dQ/dz dz/dV = -ɛ0 d/dz (V - 5x^2 y)

점 (2, -2, 2)에서의 체적 전하밀도는 다음과 같다.

ρ = -ɛ0 d/dz (V - 5x^2 y) = -ɛ0 d/dz (2 - 5(2)^2 (-2)) = -ɛ0 d/dz 82 = -ɛ0 (0) = 0

따라서 정답은 "0"이다.

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